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Mécanique du point
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
R =
− →
P +
− →
f +
− →
Rn = M
− → a .
Projection sur la base ( − → u x,
− → u y) : M
g sin a − f = M
¨ x et −M
g cos a + N = 0 et f = KN.
On obtient l’équation différentielle du mouvement : g(sin a − K cos a) = ¨ x = g sin a(1 −
K
tan a
).
• Si ¨ x > 0, le mouvement est uniformément accéléré ⇒ K = 0, 1 < tan a ⇒ a > 5, 71
◦ .
• Si ¨ x = 0, le mouvement est uniforme de vitesse v(A) ⇒ K = tan a ⇒ a = 5, 71
◦ .
• Si ¨ x < 0, le mouvement est uniformément décéléré ⇒ K > tan a ⇒ a < 5, 71
◦ .
La pente est de 8 % = 0, 08 ⇒ tan a ≈ sin a ≈ 0, 08 ⇒ a = 4, 57
◦ . Le mouvement sera
donc uniformément freiné. L’accélération sera : ¨ x = g sin a(1 −
K
tan a
) = 0, 8(1 −
5
4
) = −0, 2
m.s
−2 .
˙ x = g sin a(1 −
K
tan a
)t + v(A) = −0, 2t + 5
x =
1
2
g sin a(1 −
K
tan a
)t
2 + v(A)t = −0, 1t
2 + 5t
Pour l’arrêt : ˙ x = 0 ⇒ t = −
v(A)
g sin a(1− K
tan a
)
= 25 s et x = −
1
2
v(A)
2
g sin a(1− K
tan a
)
= −
1
2
v(A)
2
¨ x
= 62, 5 m.
Si AB = d = 2000 m ⇒ ¨ x = −
v(A)
2
2d
= −
1
160
m.s
−2 ⇒ (1 −
K
tan a
) =
¨ x
g sin a
= −
1
128
.
K = tan a(1 −
¨ x
g sin a
) = (1 +
v(A)
2
2dg sin a
) tan a = 0, 08(1 +
1
128
) = 0, 080 625.
Il faut donc que 0, 080 625 > K. La durée de la descente est : t = −
v(A)
¨ x
= 800 s.
ω
θ
l 1
O
C
m
B
BC=l
P
→
T
→
a
m
→
Figure 3.35
5 Système : la masse m = 0, 1 kg, référentiel terrestre
galiléen. Bilan des forces (figure 3.35) :
− →
P (P = mg = 1 N) et
− →
T (T = k(l − lo).
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
T = m − → a .
La masse m a un mouvement circulaire uniforme autour de l’axe vertical. Elle décrit un cercle de rayon
r = (l1 + l) sin u à la vitesse angulaire v. L’accélération est donc normale et centripète et a pour expression a = v
2 r = v
2 (l1 + l) sin u suivant l’horizontale
et vers l’axe. En projetant, on obtient T cos u = mg et
T sin u = mv
2 (l1 + l) sin u.
On a donc k(l − lo) cos u = mg ⇒ T = k(l − lo) =
mg
cos u
= 2 N.
(l − lo) =
mg
k cos u
= 0, 1 m ⇒ l = lo + 0, 1 = 0, 2 m.
T sin u = mv
2 (l1 + l) sin u ⇒
mg
cos u
= m(l1 + l)v
2
⇒ v = (
g
(l1 + l) cos u
)
1/2 =
r
10
0, 3
= 5, 77 rad.s
−1 = 0, 92 tr.s
−1
6 Système : la masse m = 1 kg en équilibre. Référentiel terrestre galiléen. Bilan des forces :
− →
P ;
− →
R ;
− →
T .
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
R +
− →
T =
− →
0 .
Théorème du moment cinétique :
− →
Mo(
− →
P ) +
− →
Mo(
− →
T ) +
− →
Mo(
− →
R ) =
− →
0 .