Lois de Newton et référentiels galiléens
89
L’angle w est l’angle que fait
− →
R avec la normale au sol. Puisqu’il y a mouvement, on a la relation
f = mRn où m est le coefficient de frottement ne dépendant que de la nature des surfaces en
contact.
2) La tension T augmente. Le mouvement devient uniformément accéléré (¨ x > 0). Rn va donc
diminuer. Le coefficient m restant constant, f diminue aussi. Le module de
− →
R diminue mais
l’angle w ne change pas.
Calcul de l’accélération : v = at + v1 et x =
1
2
at
2 + v1t ⇒ t =
v−v 1
a
et x =
1
2
v−v 1
a
(v + v1).
On peut donc écrire 2ax = v
2 − v
2
1 ⇒ a =
v
2 −v
2
1
2x
=
(20−10)(20+10)
20
(
10
3
3600
)
2 = 1, 16 m.s
−1 .
Calcul de T
: f = mRn = m(mg cos a − T
sin b) = −ma − mg sin a + T
cos b. On en tire
l’expression de T
:
T
= m
a
cos b+m sin b
+ mg
m cos a+sin a
cos b+m sin b
= m
a
cos b+m sin b
+ T = 200
1,16
0,932
+ 1000 = 1248, 93 N.
La puissance est P =
− →
T . − → v = T cos bv = 4506, 7 W.
4 Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Le système étudié
est le traîneau de masse m (m = 100 kg et g = 10 m.s
−2 ).
N
→
f
→
P
→
α
α
u x
→
u y
→
R
→
F
→
P
→
N
→
f
→
R
→
Figure 3.34
1) Mouvement horizontal suivant OA
Bilan des forces (figure 3.34) :
− →
P = m − → g (
‚
‚
‚
− →
P
‚
‚
‚ = P = 1000N) ;
− →
F (F = Fo(1 +
t
t
)) ;
− →
R =
− →
f +
− →
N .
Projection suivant l’horizontale et la verticale : N − mg = 0 et F − f = m¨ x.
Lorsqu’il y a mouvement, on a f = KN. Pour démarrer, il faut
¨ x > 0 ⇒ F > Fo = f = KN = Kmg.
On a donc : Fo = Kmg = 1000K.
Ensuite : F − f = m¨ x ⇒ Fo(1 +
t
t
) − Fo = m¨ x ⇒ ¨ x =
Fo
m
t
t
= Kg
t
t
.
˙ x = v =
1
2
Fo
m
t
2
t
=
1
2
Kg
t
2
t
⇒ x =
1
6
Fo
m
t
3
t
=
1
6
Kg
t
3
t
=⇒ K =
Fo
mg
=
100
1000
= 0, 1.
Pour t = 10 s, on a v = v(A) = 5 m.s
−1 ⇒ v(A) =
1
2
Kg
t
2
t
⇒ t =
1
2
Kg
t
2
v(A)
=
1
2
100
5
= 10 s.
OA = x =
1
6
Kg
t
3
t
=
1
6
1000
10
=
100
6
= 16, 67 m.
2) Mouvement sur la pente : La masse du système est M
= m + me.
Les forces appliquées sont
− →
P ;
− →
R =
− →
f +
− →
Rn.
89
L’angle w est l’angle que fait
− →
R avec la normale au sol. Puisqu’il y a mouvement, on a la relation
f = mRn où m est le coefficient de frottement ne dépendant que de la nature des surfaces en
contact.
2) La tension T augmente. Le mouvement devient uniformément accéléré (¨ x > 0). Rn va donc
diminuer. Le coefficient m restant constant, f diminue aussi. Le module de
− →
R diminue mais
l’angle w ne change pas.
Calcul de l’accélération : v = at + v1 et x =
1
2
at
2 + v1t ⇒ t =
v−v 1
a
et x =
1
2
v−v 1
a
(v + v1).
On peut donc écrire 2ax = v
2 − v
2
1 ⇒ a =
v
2 −v
2
1
2x
=
(20−10)(20+10)
20
(
10
3
3600
)
2 = 1, 16 m.s
−1 .
Calcul de T
: f = mRn = m(mg cos a − T
sin b) = −ma − mg sin a + T
cos b. On en tire
l’expression de T
:
T
= m
a
cos b+m sin b
+ mg
m cos a+sin a
cos b+m sin b
= m
a
cos b+m sin b
+ T = 200
1,16
0,932
+ 1000 = 1248, 93 N.
La puissance est P =
− →
T . − → v = T cos bv = 4506, 7 W.
4 Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Le système étudié
est le traîneau de masse m (m = 100 kg et g = 10 m.s
−2 ).
N
→
f
→
P
→
α
α
u x
→
u y
→
R
→
F
→
P
→
N
→
f
→
R
→
Figure 3.34
1) Mouvement horizontal suivant OA
Bilan des forces (figure 3.34) :
− →
P = m − → g (
‚
‚
‚
− →
P
‚
‚
‚ = P = 1000N) ;
− →
F (F = Fo(1 +
t
t
)) ;
− →
R =
− →
f +
− →
N .
Projection suivant l’horizontale et la verticale : N − mg = 0 et F − f = m¨ x.
Lorsqu’il y a mouvement, on a f = KN. Pour démarrer, il faut
¨ x > 0 ⇒ F > Fo = f = KN = Kmg.
On a donc : Fo = Kmg = 1000K.
Ensuite : F − f = m¨ x ⇒ Fo(1 +
t
t
) − Fo = m¨ x ⇒ ¨ x =
Fo
m
t
t
= Kg
t
t
.
˙ x = v =
1
2
Fo
m
t
2
t
=
1
2
Kg
t
2
t
⇒ x =
1
6
Fo
m
t
3
t
=
1
6
Kg
t
3
t
=⇒ K =
Fo
mg
=
100
1000
= 0, 1.
Pour t = 10 s, on a v = v(A) = 5 m.s
−1 ⇒ v(A) =
1
2
Kg
t
2
t
⇒ t =
1
2
Kg
t
2
v(A)
=
1
2
100
5
= 10 s.
OA = x =
1
6
Kg
t
3
t
=
1
6
1000
10
=
100
6
= 16, 67 m.
2) Mouvement sur la pente : La masse du système est M
= m + me.
Les forces appliquées sont
− →
P ;
− →
R =
− →
f +
− →
Rn.