88
Mécanique du point
Le mouvement est donc rectiligne uniforme à la vitesse ˙ x2 = v1 = ¨ x1t1 = 3 m.s
−1 . Le déplacement x2 s’écrit x2 = ˙ x2t + C = v1t + C avec pour t = t1, x2 = d1 ⇒ C = d1 − v1t1
⇒ x2 = v1(t − t1) + d1.
À la date t = t1 + t2, il a parcouru x2(t1 + t2) = d2 = v1t2 + d1 = 60 + 15 = 75 m depuis
l’origine O, point de départ. Sa vitesse est alors toujours v1.
Pour la dernière étape : F3 cos a − mmg = m¨ x3 ⇒ ¨ x3 =
F 3
m
cos a − mg = 0, 1 − 0, 2 = −0, 1
m.s
−2 .
Le mouvement est donc rectiligne uniformément décéléré. A t = (t1 + t2), ˙ x3 = v1 et x3 = d2.
On a donc :
˙ x3 = ¨ x3t + C ⇒ C = v1 −¨ x3(t1 + t2) ⇒ ˙ x3 = ¨ x3(t − t1 − t2) + v1 = −0, 1(t − 30) + 3 = −0, 1t + 6
x3 =
1
2
¨ x3t
2 − [¨ x3(t1 + t2) − v1] t + C ⇒ C = d2 −
1
2
¨ x3(t1 + t2)
2 + [¨ x3(t1 + t2) − v1] (t1 + t2)
C = d2 +
1
2
¨ x3(t1 + t2)
2 − v1(t1 + t2) = 75 − 0, 05(30)
2 − 3(30) = −60 m
x3 =
1
2
¨ x3t
2 − [¨ x3(t1 + t2) − v1] t + d2 +
1
2
¨ x3(t1 + t2)
2 − v1(t1 + t2) = −0, 05t
2 + 6t − 60
La vitesse s’annule pour −0, 1(t − 30) + 3 = 0 ⇒ t3 = 60 s. Le traîneau s’arrête alors.
On a donc en conclusion :
t1 > t > 0 = 10s ⇒ x =
1
2
¨ x1t
2 = 0.15t
2 et v = ¨ x1t = 0, 3t
t1 + t2 > t > t1 = 10s = 30s ⇒ x = ¨ x1t1(t − t1) +
1
2
¨ x1t
2
1
x = v1(t − t1) + d1 = ¨ x1t1(t −
t 1
2
) = 3(t − 5) = 3t − 15 et v = v1 = 3m.s
−1 .
t3 = 60s > t > t1 + t2 = 30 ⇒ x3 = −0, 05t
2 + 6t − 60 et ˙ x3 = −0, 1t + 6
Le traîneau s’arrête au bout de 60 s, à la distance du point de départ d3 = −0, 05(60)
2 +
6(60) − 60 = 120 m.
n
R
→
f
→
P
→
β
α
u x
→
u y
→
R
→
T
→
Figure 3.33
3 Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre
considéré comme galiléen. Le système étudié est le
traîneau de masse m (m = 200 kg et g = 10 m.s
−2 ).
Bilan des forces (figure 3.33) :
− →
P = m − → g = −mg(sin a − → u x + cos a − → u y)
= −2 000(sin 20
◦− → u x + cos 20
◦− → u y) ;
− →
T = T(cos b − → u x + sin b
− →
j )
= 1 000((cos 30
◦− → u x + sin 30
◦− → u y)
et
− →
R =
− →
f +
− →
Rn = −f − → u x + Rn − → u y.
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
T +
− →
R = m − → a
Projection sur − → u x et − → u y : −mg sin a + T cos b − f = m¨ x et −mg cos a + T sin b + Rn = m¨ y = 0.
1) Le mouvement est uniforme (vitesse constante ˙ x = v = 10 km.h
−1 =
25
9
m.s
−1 ), l’accélération est nulle. On a donc f = −mg sin a + T cos b = 1000(−2 sin 20
◦ + cos 30
◦ ) = 182 N ;
Rn = mg cos a − T sin b = 1000(2 cos 20
◦ − sin 30
◦ ) = 1379, 4 N ;
‚
‚
‚
− →
R
‚
‚
‚ =
√
182 2 + 1379, 4 2 = 1391, 35 N.
tan w =
f
Rn
= m =
182
1379,4
= 0, 132 ⇒ w = 7, 5
◦ .
Mécanique du point
Le mouvement est donc rectiligne uniforme à la vitesse ˙ x2 = v1 = ¨ x1t1 = 3 m.s
−1 . Le déplacement x2 s’écrit x2 = ˙ x2t + C = v1t + C avec pour t = t1, x2 = d1 ⇒ C = d1 − v1t1
⇒ x2 = v1(t − t1) + d1.
À la date t = t1 + t2, il a parcouru x2(t1 + t2) = d2 = v1t2 + d1 = 60 + 15 = 75 m depuis
l’origine O, point de départ. Sa vitesse est alors toujours v1.
Pour la dernière étape : F3 cos a − mmg = m¨ x3 ⇒ ¨ x3 =
F 3
m
cos a − mg = 0, 1 − 0, 2 = −0, 1
m.s
−2 .
Le mouvement est donc rectiligne uniformément décéléré. A t = (t1 + t2), ˙ x3 = v1 et x3 = d2.
On a donc :
˙ x3 = ¨ x3t + C ⇒ C = v1 −¨ x3(t1 + t2) ⇒ ˙ x3 = ¨ x3(t − t1 − t2) + v1 = −0, 1(t − 30) + 3 = −0, 1t + 6
x3 =
1
2
¨ x3t
2 − [¨ x3(t1 + t2) − v1] t + C ⇒ C = d2 −
1
2
¨ x3(t1 + t2)
2 + [¨ x3(t1 + t2) − v1] (t1 + t2)
C = d2 +
1
2
¨ x3(t1 + t2)
2 − v1(t1 + t2) = 75 − 0, 05(30)
2 − 3(30) = −60 m
x3 =
1
2
¨ x3t
2 − [¨ x3(t1 + t2) − v1] t + d2 +
1
2
¨ x3(t1 + t2)
2 − v1(t1 + t2) = −0, 05t
2 + 6t − 60
La vitesse s’annule pour −0, 1(t − 30) + 3 = 0 ⇒ t3 = 60 s. Le traîneau s’arrête alors.
On a donc en conclusion :
t1 > t > 0 = 10s ⇒ x =
1
2
¨ x1t
2 = 0.15t
2 et v = ¨ x1t = 0, 3t
t1 + t2 > t > t1 = 10s = 30s ⇒ x = ¨ x1t1(t − t1) +
1
2
¨ x1t
2
1
x = v1(t − t1) + d1 = ¨ x1t1(t −
t 1
2
) = 3(t − 5) = 3t − 15 et v = v1 = 3m.s
−1 .
t3 = 60s > t > t1 + t2 = 30 ⇒ x3 = −0, 05t
2 + 6t − 60 et ˙ x3 = −0, 1t + 6
Le traîneau s’arrête au bout de 60 s, à la distance du point de départ d3 = −0, 05(60)
2 +
6(60) − 60 = 120 m.
n
R
→
f
→
P
→
β
α
u x
→
u y
→
R
→
T
→
Figure 3.33
3 Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre
considéré comme galiléen. Le système étudié est le
traîneau de masse m (m = 200 kg et g = 10 m.s
−2 ).
Bilan des forces (figure 3.33) :
− →
P = m − → g = −mg(sin a − → u x + cos a − → u y)
= −2 000(sin 20
◦− → u x + cos 20
◦− → u y) ;
− →
T = T(cos b − → u x + sin b
− →
j )
= 1 000((cos 30
◦− → u x + sin 30
◦− → u y)
et
− →
R =
− →
f +
− →
Rn = −f − → u x + Rn − → u y.
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
T +
− →
R = m − → a
Projection sur − → u x et − → u y : −mg sin a + T cos b − f = m¨ x et −mg cos a + T sin b + Rn = m¨ y = 0.
1) Le mouvement est uniforme (vitesse constante ˙ x = v = 10 km.h
−1 =
25
9
m.s
−1 ), l’accélération est nulle. On a donc f = −mg sin a + T cos b = 1000(−2 sin 20
◦ + cos 30
◦ ) = 182 N ;
Rn = mg cos a − T sin b = 1000(2 cos 20
◦ − sin 30
◦ ) = 1379, 4 N ;
‚
‚
‚
− →
R
‚
‚
‚ =
√
182 2 + 1379, 4 2 = 1391, 35 N.
tan w =
f
Rn
= m =
182
1379,4
= 0, 132 ⇒ w = 7, 5
◦ .