Lois de Newton et référentiels galiléens
87
n
R
→
T
→
P
→
α
α
u x
→
u y
→
Figure 3.30
n
R
→
f
→
P
→
α
α
→
u y
→
R
→
u x
Figure 3.31
Si l’équilibre est réalisé, on a :
− →
P +
− →
R =
− →
0 et les deux forces ont la même ligne d’action.
Le point d’application de la réaction se trouve donc à l’intersection de la surface de contact
solide-sol avec la ligne d’action de
− →
P .
α=60˚
F
→
P
→
R
→
f
→
n
R
→
Figure 3.32
2 Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre
considéré comme galiléen. Le système étudié
est le traîneau de masse m (m = 100 kg et
g = 10 m.s
−2 ).
Les forces appliquées (voir figure 3.32) sont :
− →
P = m − → g ;
− →
F (action du bœuf);
− →
R (réaction du
sol).
Principe fondamental de la dynamique :
m − → g +
− →
R +
− →
F = m − → a
( − → a accélération du centre d’inertie du traîneau).
1) Si la réaction du sol était uniquement normale au sol, la projection des forces suivant l’horizontale donnerait F cos a = m¨ x. Il n’y aurait aucune condition sur F pour que le traîneau se
mette en mouvement dès que F = 0.
Il existe donc des forces de frottement et la réaction du sol est inclinée vers l’arrière (figure 3.32).
En projetant sur l’horizontale et la verticale, on a F cos a − f = m¨ x et Rn − mg = 0.
La condition est donc ¨ x > 0 ⇒ F cos a > f ⇒ Fm =
f
cos a
=
f
1/2
= 2f = 40 N⇒ f = 20 N.
Si le traîneau bouge, alors on a f = mRn avec m coefficient de frottement caractéristique de la
réaction sol-traîneau, avec Rn = mg ⇒ m =
f
Rn
=
f
mg
=
20
1000
= 0, 02 = tan w où w est l’angle
que fait la réaction
− →
R avec la normale au sol
− →
Rn. Cet angle de frottement vaut w = 1, 146
◦ .
Dans tout ce qui suit, f reste constante et peut s’écrire f = mRn = mmg.
2) Pour la première étape : F1 cos a−mmg = m¨ x1 ⇒ ¨ x1 =
F 1
m
cos a−mg =
1
2
−0, 2 = 0, 3 m.s
−2 .
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. À t = 0, ˙ x1(0) = 0 et x1(0) = 0. On a
donc
˙ x1 = ¨ x1t = 0, 3t ⇒ x1 =
1
2
¨ x1t
2 = 0.15t
2 . Au bout de t1 = 10 s, le traîneau a parcouru
x1(t 1) = d1 =
1
2
¨ x1t
2
1 = 15 m et sa vitesse est ˙ x1(t1) = v1 = ¨ x1t1 = 3 m.s
−1 .
Pour l’étape suivante : F2 cos a − mmg = m¨ x2 ⇒ ¨ x2 =
F 2
m
cos a − mg = 0, 2 − 0, 2 = 0.
87
n
R
→
T
→
P
→
α
α
u x
→
u y
→
Figure 3.30
n
R
→
f
→
P
→
α
α
→
u y
→
R
→
u x
Figure 3.31
Si l’équilibre est réalisé, on a :
− →
P +
− →
R =
− →
0 et les deux forces ont la même ligne d’action.
Le point d’application de la réaction se trouve donc à l’intersection de la surface de contact
solide-sol avec la ligne d’action de
− →
P .
α=60˚
F
→
P
→
R
→
f
→
n
R
→
Figure 3.32
2 Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre
considéré comme galiléen. Le système étudié
est le traîneau de masse m (m = 100 kg et
g = 10 m.s
−2 ).
Les forces appliquées (voir figure 3.32) sont :
− →
P = m − → g ;
− →
F (action du bœuf);
− →
R (réaction du
sol).
Principe fondamental de la dynamique :
m − → g +
− →
R +
− →
F = m − → a
( − → a accélération du centre d’inertie du traîneau).
1) Si la réaction du sol était uniquement normale au sol, la projection des forces suivant l’horizontale donnerait F cos a = m¨ x. Il n’y aurait aucune condition sur F pour que le traîneau se
mette en mouvement dès que F = 0.
Il existe donc des forces de frottement et la réaction du sol est inclinée vers l’arrière (figure 3.32).
En projetant sur l’horizontale et la verticale, on a F cos a − f = m¨ x et Rn − mg = 0.
La condition est donc ¨ x > 0 ⇒ F cos a > f ⇒ Fm =
f
cos a
=
f
1/2
= 2f = 40 N⇒ f = 20 N.
Si le traîneau bouge, alors on a f = mRn avec m coefficient de frottement caractéristique de la
réaction sol-traîneau, avec Rn = mg ⇒ m =
f
Rn
=
f
mg
=
20
1000
= 0, 02 = tan w où w est l’angle
que fait la réaction
− →
R avec la normale au sol
− →
Rn. Cet angle de frottement vaut w = 1, 146
◦ .
Dans tout ce qui suit, f reste constante et peut s’écrire f = mRn = mmg.
2) Pour la première étape : F1 cos a−mmg = m¨ x1 ⇒ ¨ x1 =
F 1
m
cos a−mg =
1
2
−0, 2 = 0, 3 m.s
−2 .
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. À t = 0, ˙ x1(0) = 0 et x1(0) = 0. On a
donc
˙ x1 = ¨ x1t = 0, 3t ⇒ x1 =
1
2
¨ x1t
2 = 0.15t
2 . Au bout de t1 = 10 s, le traîneau a parcouru
x1(t 1) = d1 =
1
2
¨ x1t
2
1 = 15 m et sa vitesse est ˙ x1(t1) = v1 = ¨ x1t1 = 3 m.s
−1 .
Pour l’étape suivante : F2 cos a − mmg = m¨ x2 ⇒ ¨ x2 =
F 2
m
cos a − mg = 0, 2 − 0, 2 = 0.