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Mécanique du point
2) On rappelle deux relations dans un triangle ABC :
− →
BC
2 =
− →
AB
2 +
− →
AC
2
− 2
− →
AB.
− →
AC
− →
AB ∧
− →
AC =
− →
BC ∧
− →
BA =
− →
CA ∧
− →
CB
Déterminer la longueur du ressort AM ainsi que sin(
−→
MO,
− →
MA) en fonction de l o et u.
3) Calculer la valeur de la constante de raideur k du ressort qui assure l’équilibre :
a) en faisant le bilan des forces ;
b) en utilisant le théorème des moments.
t
o
ω
θ =
x
y
x
O
M
Figure 3.29
7 Le mobile M est un anneau enfilé sur l’axe rigide Ox
Il peut glisser sur Ox
sans frottement
et on néglige la pesanteur (alors l’anneau n’est
soumis qu’à une réaction normale de l’axe rigide).
L’axe Ox
tourne dans le plan xOy à la vitesse
angulaire constante v o . Le repère xOy est un repère galiléen. À l’instant t = 0, u = 0, r = r o ,
d r
d t
= 0.
1) Écrire l’équation fondamentale de la dynamique dans le repère fixe xOy.
2) Déterminer les équations horaires r(t) et u(t) du mouvement du point M.
3) Représenter l’allure de la trajectoire dans le plan xOy.
Solutions
1 Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Le système étudié
est un solide de masse m. Les forces appliquées, ramenées au centre d’inertie du solide, sont
(figure 3.30) :
− →
P = m − → g (verticale vers le bas) ;
− →
Rn (réaction normale du sol car pas de frottement) et
− →
T
(tension du fil).
1) Le centre d’inertie du solide est immobile dans le référentiel terrestre si :
P − →
Fext =
− →
0 ⇒
− →
P +
− →
Rn +
− →
T =
− →
0 .
2) En projetant sur les axes du repère, on obtient : mg sin a = T et Rn = mg cos a
3) Le fil est remplacé par un ressort. La tension du ressort est proportionnelle à son allongement. On a donc :
T = k(l − lo) ⇒ (l − lo) =
mg
k
sin a ⇒ l = lo +
mg
k
sin a.
4) La tension est remplacée par la force de frottement
− →
f (figure 3.31)
On a donc f = mg sin a ; Rn = mg cos a et la condition d’équilibre qui impose mRn > f .
L’équilibre est possible si : m > tan a =
f
Rn
Mécanique du point
2) On rappelle deux relations dans un triangle ABC :
− →
BC
2 =
− →
AB
2 +
− →
AC
2
− 2
− →
AB.
− →
AC
− →
AB ∧
− →
AC =
− →
BC ∧
− →
BA =
− →
CA ∧
− →
CB
Déterminer la longueur du ressort AM ainsi que sin(
−→
MO,
− →
MA) en fonction de l o et u.
3) Calculer la valeur de la constante de raideur k du ressort qui assure l’équilibre :
a) en faisant le bilan des forces ;
b) en utilisant le théorème des moments.
t
o
ω
θ =
x
y
x
O
M
Figure 3.29
7 Le mobile M est un anneau enfilé sur l’axe rigide Ox
Il peut glisser sur Ox
sans frottement
et on néglige la pesanteur (alors l’anneau n’est
soumis qu’à une réaction normale de l’axe rigide).
L’axe Ox
tourne dans le plan xOy à la vitesse
angulaire constante v o . Le repère xOy est un repère galiléen. À l’instant t = 0, u = 0, r = r o ,
d r
d t
= 0.
1) Écrire l’équation fondamentale de la dynamique dans le repère fixe xOy.
2) Déterminer les équations horaires r(t) et u(t) du mouvement du point M.
3) Représenter l’allure de la trajectoire dans le plan xOy.
Solutions
1 Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Le système étudié
est un solide de masse m. Les forces appliquées, ramenées au centre d’inertie du solide, sont
(figure 3.30) :
− →
P = m − → g (verticale vers le bas) ;
− →
Rn (réaction normale du sol car pas de frottement) et
− →
T
(tension du fil).
1) Le centre d’inertie du solide est immobile dans le référentiel terrestre si :
P − →
Fext =
− →
0 ⇒
− →
P +
− →
Rn +
− →
T =
− →
0 .
2) En projetant sur les axes du repère, on obtient : mg sin a = T et Rn = mg cos a
3) Le fil est remplacé par un ressort. La tension du ressort est proportionnelle à son allongement. On a donc :
T = k(l − lo) ⇒ (l − lo) =
mg
k
sin a ⇒ l = lo +
mg
k
sin a.
4) La tension est remplacée par la force de frottement
− →
f (figure 3.31)
On a donc f = mg sin a ; Rn = mg cos a et la condition d’équilibre qui impose mRn > f .
L’équilibre est possible si : m > tan a =
f
Rn