Lois de Newton et référentiels galiléens
91
θ=60˚
A
m
2lo
lo
O
P
→
R
→
T
→
α
Figure 3.36
1)
− →
P étant connu en direction, sens et intensité, on détermine la longueur des vecteurs
− →
R et
− →
T dont les directions sont
connues en construisant le parallélogramme
− →
R +
− →
T = −
− →
P (figure 3.36).
On obtient T 6, 6 cm⇒ T = 13, 2 N et
AM = 6, 6 cm pour une longueur à vide de
5 cm. L’allongement du ressort est donc de
1, 6 cm soit, en tenant compte de l’échelle, de
0, 64 m.
La raideur du ressort est :
k =
T
Dl
=
13, 2
0, 64
= 20, 625 N.m
−1 .
2)
− →
AM =
− →
AO +
− →
OM ⇒
− →
AM
2 =
− →
AO
2 +
− →
OM
2
+2
− →
AO.
− →
OM = 4l
2
o + l
2
o + 4l
2
o cos u.
AM
2 = l
2
o (5 + 4 cos 60
◦ ) ⇒ AM
2 = 7l
2
o ⇒ AM =
√
7lo = 2, 646 m (soit 6, 615 cm sur le
graphique à l’échelle 2, 5 cm→ 1 m).
AM = lo
√
5 + 4 cos u ⇒ Dl = AM − 2lo = lo
√
5 + 4 cos u − 2lo
AM = lo
h √
5 + 4 cos u − 2
i
.
− →
OM ∧
− →
OA =
− →
MA ∧
− →
MO ⇒ 2l
2
o sin(p − u) = AMlo sin a ⇒ sin a =
2lo
AM
sin u =
2
√
5+4 cos u
sin u.
sin a =
2
√
7
sin 60
◦ = 0, 655 ⇒ a = 40, 89
◦ .
3) En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur la direction perpendiculaire à
− →
R , on obtient mg sin u − T sin a = 0. On en tire l’expression de T :
T = mg
sin u
sin a
= mg
AM
2lo
= mg
q
5
4
+ cos u = 5
√
7 = 13, 23 N. (valeur vérifiée graphiquement).
La somme des moments des forces par rapport à O doit être nulle. Le moment de
− →
R est nul
puisque la ligne d’action de cette force passe par O. Il reste :
− →
Mo(
− →
P ) +
− →
Mo(
− →
T ) =
− →
0 ⇒
‚
‚
‚
− →
Mo(
− →
P )
‚
‚
‚ =
‚
‚
‚
− →
Mo(
− →
T )
‚
‚
‚ .
‚
‚
‚
− →
OM ∧
− →
P
‚
‚
‚ = lomg sin u =
‚
‚
‚
− →
OM ∧
− →
T
‚
‚
‚ = Tlo sin(p − a) = Tlo sin a ⇒ T = mg
sin u
sin a
On retrouve bien le même résultat. On en déduit l’expression de la raideur k du ressort :
k =
T
Dl
=
mg
lo
q
5
4
+ cos u
h √
5 + 4 cos u − 2
i ⇒ k = 10
√
7
2
1
√
7 − 2
= 20, 48 N.m
−1
(on retrouve la valeur obtenue par la méthode graphique).
7 Le système est l’anneau de masse négligeable. Le référentiel est le référentiel terrestre galiléen.
Bilan des forces : une force
− →
R de contact, sans frottement, avec la tige, force perpendiculaire
à la tige.
Principe fondamental de la dynamique :
− →
R = m − → a .
91
θ=60˚
A
m
2lo
lo
O
P
→
R
→
T
→
α
Figure 3.36
1)
− →
P étant connu en direction, sens et intensité, on détermine la longueur des vecteurs
− →
R et
− →
T dont les directions sont
connues en construisant le parallélogramme
− →
R +
− →
T = −
− →
P (figure 3.36).
On obtient T 6, 6 cm⇒ T = 13, 2 N et
AM = 6, 6 cm pour une longueur à vide de
5 cm. L’allongement du ressort est donc de
1, 6 cm soit, en tenant compte de l’échelle, de
0, 64 m.
La raideur du ressort est :
k =
T
Dl
=
13, 2
0, 64
= 20, 625 N.m
−1 .
2)
− →
AM =
− →
AO +
− →
OM ⇒
− →
AM
2 =
− →
AO
2 +
− →
OM
2
+2
− →
AO.
− →
OM = 4l
2
o + l
2
o + 4l
2
o cos u.
AM
2 = l
2
o (5 + 4 cos 60
◦ ) ⇒ AM
2 = 7l
2
o ⇒ AM =
√
7lo = 2, 646 m (soit 6, 615 cm sur le
graphique à l’échelle 2, 5 cm→ 1 m).
AM = lo
√
5 + 4 cos u ⇒ Dl = AM − 2lo = lo
√
5 + 4 cos u − 2lo
AM = lo
h √
5 + 4 cos u − 2
i
.
− →
OM ∧
− →
OA =
− →
MA ∧
− →
MO ⇒ 2l
2
o sin(p − u) = AMlo sin a ⇒ sin a =
2lo
AM
sin u =
2
√
5+4 cos u
sin u.
sin a =
2
√
7
sin 60
◦ = 0, 655 ⇒ a = 40, 89
◦ .
3) En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur la direction perpendiculaire à
− →
R , on obtient mg sin u − T sin a = 0. On en tire l’expression de T :
T = mg
sin u
sin a
= mg
AM
2lo
= mg
q
5
4
+ cos u = 5
√
7 = 13, 23 N. (valeur vérifiée graphiquement).
La somme des moments des forces par rapport à O doit être nulle. Le moment de
− →
R est nul
puisque la ligne d’action de cette force passe par O. Il reste :
− →
Mo(
− →
P ) +
− →
Mo(
− →
T ) =
− →
0 ⇒
‚
‚
‚
− →
Mo(
− →
P )
‚
‚
‚ =
‚
‚
‚
− →
Mo(
− →
T )
‚
‚
‚ .
‚
‚
‚
− →
OM ∧
− →
P
‚
‚
‚ = lomg sin u =
‚
‚
‚
− →
OM ∧
− →
T
‚
‚
‚ = Tlo sin(p − a) = Tlo sin a ⇒ T = mg
sin u
sin a
On retrouve bien le même résultat. On en déduit l’expression de la raideur k du ressort :
k =
T
Dl
=
mg
lo
q
5
4
+ cos u
h √
5 + 4 cos u − 2
i ⇒ k = 10
√
7
2
1
√
7 − 2
= 20, 48 N.m
−1
(on retrouve la valeur obtenue par la méthode graphique).
7 Le système est l’anneau de masse négligeable. Le référentiel est le référentiel terrestre galiléen.
Bilan des forces : une force
− →
R de contact, sans frottement, avec la tige, force perpendiculaire
à la tige.
Principe fondamental de la dynamique :
− →
R = m − → a .