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Mécanique du point
En coordonnées polaires, on peut écrire :
− → a = (¨ r − r ˙
u
2 ) − → ur + (2˙ r ˙
u + r ¨
u) − → uu =
R
m
− → uu ⇒ ¨
r − r ˙
u
2 = 0.
On a de plus u = vot ⇒ ˙
u = vo ⇒ ¨
r − rv
2
o = 0.
L’équation caractéristique donne l
2 − v
2
o = 0 ⇒ l = ±vo ⇒ r = Ae
−vot + Be
vot .
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
Figure 3.37
Les condition initiales sont t = 0, r(0) = ro
et ˙
r(0) = 0. On a donc ro = A + B et
˙
r(0) = 0 = vo(B − A) ⇒ A = B =
ro
2
.
r(t) =
ro
2
(e
−vot + e
vot ) = ro cos h(vot).
L’équation de la trajectoire est :
r(u) = ro cos hu = ro(e
−u + e
u ).
C’est l’équation d’une spirale exponentielle
(figure 3.37). r tend très rapidement vers l’infini. Il est possible de connaître la réaction
R = m(2˙ r ˙
u + r ¨
u) = 2m˙ rvo :
R = 2mrov
2
o (e
vot − e
−vot )
= 4mv
2
o ro sin h(vot) = 4mv
2
o ro sin hu.