Lois de Newton et référentiels galiléens
83
EXERCICES CORRIGÉS
α
L
H
Figure 3.24
1 Un solide de masse m est en équilibre sur un plan
incliné d’un angle a par rapport à l’horizontale (figure 3.24).
Dans les questions 2 et 3 le contact entre le solide
et le plan incliné est supposé sans frottements.
1) Rappeler à quelles conditions un solide est en
équilibre.
2) L’équilibre est d’abord réalisé en maintenant le
solide par un fil non élastique de masse négligeable.
Écrire les lois de l’équilibre de ce solide. Déterminer la tension du fil.
3) L’équilibre est maintenant assuré par un fil élastique de raideur k dont la longueur
à vide est l o . Déterminer la longueur du ressort lorsqu’il maintient le solide sur le
plan incliné.
4) Le solide n’est plus maintenu par un fil mais on suppose que le coefficient de
frottement solide entre le solide et le plan est m. Démontrer que le solide ne peut être
en équilibre que si l’angle a est inférieur à un angle que l’on déterminera. Déterminer
la position du point d’application de la réaction du support dans ce cas.
2 Un bœuf tire un traîneau sur un sol horizontal en appliquant systématiquement une
force de traction
− →
F inclinée de 60
◦ par rapport à l’horizontale. La force de traction
− →
F qu’il exerce sera variable dans les différentes parties du problème et l’on cherche
à comprendre le mouvement du traîneau en fonction de la valeur du module de
− →
F .
Dans tout le problème on considère que la masse du traîneau est m = 100 kg et l’on
posera g = 10 ms
−2 .
1) Pour mettre en mouvement le traîneau, le bœuf doit tirer avec une force minimale
F m = 40 N . Expliquer l’origine de cette force minimale. En déduire les caractéristiques de la réaction sol-traîneau.
2) À l’instant t = 0, il tire le traîneau avec une force F 1 = 100 N pendant t 1 = 10 s,
puis il applique une force F 2 = 40 N pendant t 2 = 20 s pour ne le tirer qu’avec une
force de F 3 = 20 N par la suite.
a) Écrire l’équation différentielle du mouvement du traîneau dans les trois cas précédents.
b) Résoudre ces équations et déterminer l’expression de la distance parcourue par le
traîneau en fonction de t.
c) Le traîneau s’arrête-t-il ? Dans l’affirmative trouver la position d’arrêt.
3 Un traîneau de masse m = 200 kg est tiré suivant une ligne de plus grande pente
d’un plan incliné par l’intermédiaire d’un câble faisant un angle b avec celui-ci
(figure 3.25).
1) La tension du câble vaut T = 1000 N. Le mouvement étant uniforme de vitesse
v = 10 km.h
−1 , déterminer la réaction
R somme des forces de contact exercées par
le sol sur le traîneau (norme et inclinaison par rapport à la normale au plan incliné).
Données : a = 20
◦ , b = 30
◦ ; g = 10 m.s
−2 .
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EXERCICES CORRIGÉS
α
L
H
Figure 3.24
1 Un solide de masse m est en équilibre sur un plan
incliné d’un angle a par rapport à l’horizontale (figure 3.24).
Dans les questions 2 et 3 le contact entre le solide
et le plan incliné est supposé sans frottements.
1) Rappeler à quelles conditions un solide est en
équilibre.
2) L’équilibre est d’abord réalisé en maintenant le
solide par un fil non élastique de masse négligeable.
Écrire les lois de l’équilibre de ce solide. Déterminer la tension du fil.
3) L’équilibre est maintenant assuré par un fil élastique de raideur k dont la longueur
à vide est l o . Déterminer la longueur du ressort lorsqu’il maintient le solide sur le
plan incliné.
4) Le solide n’est plus maintenu par un fil mais on suppose que le coefficient de
frottement solide entre le solide et le plan est m. Démontrer que le solide ne peut être
en équilibre que si l’angle a est inférieur à un angle que l’on déterminera. Déterminer
la position du point d’application de la réaction du support dans ce cas.
2 Un bœuf tire un traîneau sur un sol horizontal en appliquant systématiquement une
force de traction
− →
F inclinée de 60
◦ par rapport à l’horizontale. La force de traction
− →
F qu’il exerce sera variable dans les différentes parties du problème et l’on cherche
à comprendre le mouvement du traîneau en fonction de la valeur du module de
− →
F .
Dans tout le problème on considère que la masse du traîneau est m = 100 kg et l’on
posera g = 10 ms
−2 .
1) Pour mettre en mouvement le traîneau, le bœuf doit tirer avec une force minimale
F m = 40 N . Expliquer l’origine de cette force minimale. En déduire les caractéristiques de la réaction sol-traîneau.
2) À l’instant t = 0, il tire le traîneau avec une force F 1 = 100 N pendant t 1 = 10 s,
puis il applique une force F 2 = 40 N pendant t 2 = 20 s pour ne le tirer qu’avec une
force de F 3 = 20 N par la suite.
a) Écrire l’équation différentielle du mouvement du traîneau dans les trois cas précédents.
b) Résoudre ces équations et déterminer l’expression de la distance parcourue par le
traîneau en fonction de t.
c) Le traîneau s’arrête-t-il ? Dans l’affirmative trouver la position d’arrêt.
3 Un traîneau de masse m = 200 kg est tiré suivant une ligne de plus grande pente
d’un plan incliné par l’intermédiaire d’un câble faisant un angle b avec celui-ci
(figure 3.25).
1) La tension du câble vaut T = 1000 N. Le mouvement étant uniforme de vitesse
v = 10 km.h
−1 , déterminer la réaction
R somme des forces de contact exercées par
le sol sur le traîneau (norme et inclinaison par rapport à la normale au plan incliné).
Données : a = 20
◦ , b = 30
◦ ; g = 10 m.s
−2 .