82
Mécanique du point
c) ¨
u = −
g
r
cos u ⇒ 2 ˙
u ¨
u = −
2g
r
˙
u cos u ⇒
d ( ˙
u
2 )
d t
= −2
g
r
d (sin u)
d t
u
uo=
p
2
d ( ˙
u
2 )
d t
= −2
g
r
u
uo=
p
2
d (sin u)
d t
⇒ ˙
u
2 = −2
g
r
[sin u]
u
p
2
=
2g
r
(1 − sin u) = ˙
u
2
˙
u
2 =
2g
r
(1 − sin u) ⇒ r
2 ˙
u
2 = 2gr(1 − sin u) ⇒ V =
2gr(1 − sin u)
R − mg sin u = −mr ˙
u
2 = −
m
r
V
2
⇒ R = mg sin u − m[2g(1 − sin u)] = mg(3 sin u − 2)
d) Au point M 1 :
− →
R (u 1 ) =
− →
0 ⇒ 3 sin u 1 − 2 = 0 ⇒ sin u 1 =
2
3
et en remplaçant dans V :
V 1 =
2gr(1 − sin u 1 ) =
2gr(1 −
2
3
) =
2
3
gr
et cos u 1 =
1 − sin
2 u 1 =
1 −
4
9
=
√
5
3
II. Deuxième phase du mouvement
a)
− →
V 1 = V 1 (sin u 1
− → u x − cos u 1
− → u y ) =
2
3
gr
⎛
⎝ 2
3
− → u x − − → u y
1 −
2
3
2
⎞
⎠
=
2
3
gr
2
3
− → u x −
√
5
3
− → u y
.
b) − → a = − → g =
0
−g
0
⇒
− →
V =
V 1 sin u 1
−gt − V 1 cos u 1
0
⇒
x = (V 1 sin u 1 )t
y = −
1
2
gt
2
− (V 1 cos u 1 )t
0
avec t =
x
V 1 sin u 1
y = −
1
2
g
x
2
(V 1 sin u 1 ) 2 −
cos u 1
sin u 1
x ⇒ y = −
27
16
x
2
r
−
√
5
2
x (origine en M 1 )
c) Le point M touche le plan d’eau pour : y = −r sin u 1 ⇒
27
16
x
2 +
√
5
2
rx −
2
3
r
2 = 0
x
2 +
8
√
5
27
rx −
32
81
r
2 = 0 ⇒ x = −
4
√
5
27
r ±
4
√
5
27
r
2
+
32r 2
81
x = −
4
√
5
27
r +
80
27 2 r 2 +
32.9
27 2 r 2 = −
4
√
5
27
r +
r
27
√
80 + 288 =
r
27
(
√
368 − 4
√
5)
x =
r
27
(12
√
2 − 4
√
5) =
4
27
r(3
√
2 −
√
5) =
8
27
r = 0,297.r
On a donc : OM = r cos u 1 +
8
27
r =
√
5
3
+
8
27
r = 1,0426.r