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Mécanique du point
En utilisant les résultats du paragraphe 1.2. de ce chapitre, on obtient :
− → v M/R =
d x
d t
− → u
x +
d y
d t
− → u
y +
d z
d t
− → u
z + x
˙
u − → u
y − y
˙
u − → u
x
En remarquant que :
˙
u − → u
y =
− →
V R /R ∧ − → u
x et − ˙
u − → u
x =
− →
V R /R ∧ − → u
y
on obtient finalement :
− → v M/R =
d x
d t
− → u
x +
d y
d t
− → u
y +
d z
d t
− → u
z + x
− →
V R /R ∧ − → u
x + y
− →
V R /R ∧ − → u
y
Nous constatons ensuite que :
− →
V R /R ∧ x
− → u
x +
− →
V R /R ∧ y
− → u
y =
− →
V R /R ∧
x
− → u
x + y
− → u
y
Comme le vecteur vitesse instantané de rotation est dirigé selon − → u
z , nous avons aussi :
− →
V R /R ∧
x
− → u
x + y
− → u
y
=
− →
V R /R ∧
x
− → u
x + y
− → u
y + z
− → u
z
=
− →
V R /R ∧
−→
OM
Nous pouvons donc conclure que :
d
−→
OM
d t
R
=
d
−→
OM
d t
R
+
− →
V R /R ∧
−→
OM
(2.1)
ce qui montre que :
Dériver le vecteur
− →
OM dans R n’est pas équivalent à le dériver dans R
.
En posant − → v R /R =
− →
V R /R ∧
−→
OM, la loi de composition des vitesses dans deux référentiels
en rotation s’écrit :
− → v M/R = − → v R /R + − → v M/R
avec − → v R /R appelée vitesse d’entraînement, c’est-à-dire la vitesse, par rapport à R, qu’aurait le point M s’il était fixe dans R
.
La loi précédente a été appliquée au vecteur position
− →
OM. Elle est tout à fait générale et peut s’appliquer à n’importe quel vecteur
− →
X . Ainsi, si
− →
X est un vecteur
quelconque, on a d’après (2.1) :
d
− →
X
d t
R
=
d
− →
X
d t
R
+
− →
V R /R ∧
− →
X
(2.2)