Changements de référentiels
39
Nous insistons très fortement sur cette dernière relation qui montre que :
Si un vecteur
− →
X appartient à deux référentiels R et R
en rotation l’un par rapport
à l’autre, la dérivée du vecteur
− →
X dans R est différente de sa dérivée dans R
.
Par contre il est clair que si deux référentiels R et R
sont en mouvement de translation l’un par rapport à l’autre
− →
V R /R =
− →
0
, la dérivée d’un vecteur
− →
X dans l’un
est égale à la dérivée de ce même vecteur
− →
X dans l’autre.
2.3. Cas général
Cette relation peut être généralisée à un mouvement combinant une translation et une
rotation en faisant intervenir la vitesse de O
par rapport à R ainsi que le vecteur vitesse
angulaire
− →
V R /R caractérisant la rotation de R
par rapport à R. En partant de :
−→
OM =
− − →
OO
+
− − →
O
M
on voit que :
d
−→
OM
d t
R
=
d
− − →
OO
d t
R
+
d
− − →
O
M
d t
R
Or la dérivée de
− − →
O
M dans R peut s’exprimer à partir de la dérivée de ce même vecteur
dans R
, d’où :
d
−→
OM
d t
R
=
d
− − →
OO
d t
R
+
d
− − →
O
M
d t
R
+
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
Nous obtenons ainsi la loi de composition des vitesses dans un cas général :
− → v M/R = − → v O /R + − → v M/R +
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
On distingue dans cette expression deux termes :
• − → v M/R qui représente la vitesse de M par rapport à R
et que l’on appelle vitesse
relative de M par rapport à R
.
• − → v O /R +
− →
V R /R ∧
− − →
O
M qui est la vitesse d’entraînement de M dans son mouvement par
rapport à R. Cette vitesse est la somme de deux termes. Le premier terme correspond
à la vitesse d’entraînement due au déplacement de l’origine O
(terme de translation)
et le deuxième correspond à la vitesse d’entraînement due à la rotation de R
par
rapport à R (terme de rotation).
Encart 2.3. Le mouvement cycloïdal
Notre but est de montrer comment il est possible d’utiliser la loi de composition des
vitesses afin de prédire la vitesse d’un point dans un référentiel R connaissant sa vitesse
dans un référentiel R
. À ce titre nous considérons le mouvement de la valve M de la
roue d’une bicyclette de rayon R. Ce mouvement est le résultat de la composition d’un
39
Nous insistons très fortement sur cette dernière relation qui montre que :
Si un vecteur
− →
X appartient à deux référentiels R et R
en rotation l’un par rapport
à l’autre, la dérivée du vecteur
− →
X dans R est différente de sa dérivée dans R
.
Par contre il est clair que si deux référentiels R et R
sont en mouvement de translation l’un par rapport à l’autre
− →
V R /R =
− →
0
, la dérivée d’un vecteur
− →
X dans l’un
est égale à la dérivée de ce même vecteur
− →
X dans l’autre.
2.3. Cas général
Cette relation peut être généralisée à un mouvement combinant une translation et une
rotation en faisant intervenir la vitesse de O
par rapport à R ainsi que le vecteur vitesse
angulaire
− →
V R /R caractérisant la rotation de R
par rapport à R. En partant de :
−→
OM =
− − →
OO
+
− − →
O
M
on voit que :
d
−→
OM
d t
R
=
d
− − →
OO
d t
R
+
d
− − →
O
M
d t
R
Or la dérivée de
− − →
O
M dans R peut s’exprimer à partir de la dérivée de ce même vecteur
dans R
, d’où :
d
−→
OM
d t
R
=
d
− − →
OO
d t
R
+
d
− − →
O
M
d t
R
+
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
Nous obtenons ainsi la loi de composition des vitesses dans un cas général :
− → v M/R = − → v O /R + − → v M/R +
− →
V R /R ∧
− − →
O
M
On distingue dans cette expression deux termes :
• − → v M/R qui représente la vitesse de M par rapport à R
et que l’on appelle vitesse
relative de M par rapport à R
.
• − → v O /R +
− →
V R /R ∧
− − →
O
M qui est la vitesse d’entraînement de M dans son mouvement par
rapport à R. Cette vitesse est la somme de deux termes. Le premier terme correspond
à la vitesse d’entraînement due au déplacement de l’origine O
(terme de translation)
et le deuxième correspond à la vitesse d’entraînement due à la rotation de R
par
rapport à R (terme de rotation).
Encart 2.3. Le mouvement cycloïdal
Notre but est de montrer comment il est possible d’utiliser la loi de composition des
vitesses afin de prédire la vitesse d’un point dans un référentiel R connaissant sa vitesse
dans un référentiel R
. À ce titre nous considérons le mouvement de la valve M de la
roue d’une bicyclette de rayon R. Ce mouvement est le résultat de la composition d’un