Changements de référentiels
37
Nous faisons en outre l’hypothèse que l’axe de rotation de R
par rapport à R est l’axe des
z, ce qui permet d’écrire que la vitesse angulaire de rotation de R
par rapport à R est :
− →
V R /R =
d u
d t
− → u z
Il est alors très important de comprendre que dans le référentiel R
les vecteurs de base
− → u
x , − → u
y , − → u
z
sont constants puisqu’ils tournent avec les axes du référentiel. Pour s’en
assurer il suffit de déterminer à tout instant l’angle fait par ces vecteurs et les axes du
référentiel et de constater qu’il est toujours nul. Les vecteurs
− → u
x , − → u
y , − → u
z
sont donc
fixes dans R’. D’autre part le référentiel R peut être rapporté soit à la base
− → u x , − → u y , − → u z
fixe de R soit à la base
− → u
x , − → u
y , − → u
z
mobile de R. Dans ce cas, les vecteurs − → u
x , − → u
y
correspondent, comme nous l’avons vu au paragraphe 1.2. aux vecteurs − → u r , − → u u de la base
polaire de R. Ils ne sont plus constants dans R puisqu’ils tournent à la vitesse angulaire
− →
V R /R par rapport à R. Toute la difficulté du calcul qui suit repose sur la compréhension
de ce point.
Quel que soit le référentiel d’étude, la position du point M peut s’écrire :
−→
OM = x − → u x + y − → u y + z − → u z
−→
OM = x
− → u
x + y
− → u
y + z − → u
z
La vitesse du point M de coordonnées (x, y, z) dans R(O, x, y, z, t) est :
− → v M/R =
d
−→
OM
d t
R
=
d x
d t
− → u x +
d y
d t
− → u y +
d z
d t
− → u z
alors que la vitesse du même point M dans R
(O
, x
, y
, z
, t) s’écrit :
− → v M/R =
d
−→
OM
d t
R
=
d
x
− → u
x + y
− → u
y + z − → u
z
d t
Dans R
, les vecteurs de base
− → u
x , − → u
y , − → u
z
sont constants, ce qui conduit à :
− → v M/R =
d x
d t
− → u
x +
d y
d t
− → u
y +
d z
d t
− → u
z
Nous nous replaçons maintenant dans R mais nous exprimons la position du point M dans
la base
− → u
x , − → u
y , − → u
z
. La vitesse du point M s’écrit alors :
− → v M/R =
d(x
− → u
x + y
− → u
y + z − → u
z )
d t
soit :
− → v M/R =
d x
d t
− → u
x +
d y
d t
− → u
y +
d z
d t
− → u
z + x
d − → u
x
d t
+ y
d − → u
y
d t
+ z
d − → u
z
d t
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Nous faisons en outre l’hypothèse que l’axe de rotation de R
par rapport à R est l’axe des
z, ce qui permet d’écrire que la vitesse angulaire de rotation de R
par rapport à R est :
− →
V R /R =
d u
d t
− → u z
Il est alors très important de comprendre que dans le référentiel R
les vecteurs de base
− → u
x , − → u
y , − → u
z
sont constants puisqu’ils tournent avec les axes du référentiel. Pour s’en
assurer il suffit de déterminer à tout instant l’angle fait par ces vecteurs et les axes du
référentiel et de constater qu’il est toujours nul. Les vecteurs
− → u
x , − → u
y , − → u
z
sont donc
fixes dans R’. D’autre part le référentiel R peut être rapporté soit à la base
− → u x , − → u y , − → u z
fixe de R soit à la base
− → u
x , − → u
y , − → u
z
mobile de R. Dans ce cas, les vecteurs − → u
x , − → u
y
correspondent, comme nous l’avons vu au paragraphe 1.2. aux vecteurs − → u r , − → u u de la base
polaire de R. Ils ne sont plus constants dans R puisqu’ils tournent à la vitesse angulaire
− →
V R /R par rapport à R. Toute la difficulté du calcul qui suit repose sur la compréhension
de ce point.
Quel que soit le référentiel d’étude, la position du point M peut s’écrire :
−→
OM = x − → u x + y − → u y + z − → u z
−→
OM = x
− → u
x + y
− → u
y + z − → u
z
La vitesse du point M de coordonnées (x, y, z) dans R(O, x, y, z, t) est :
− → v M/R =
d
−→
OM
d t
R
=
d x
d t
− → u x +
d y
d t
− → u y +
d z
d t
− → u z
alors que la vitesse du même point M dans R
(O
, x
, y
, z
, t) s’écrit :
− → v M/R =
d
−→
OM
d t
R
=
d
x
− → u
x + y
− → u
y + z − → u
z
d t
Dans R
, les vecteurs de base
− → u
x , − → u
y , − → u
z
sont constants, ce qui conduit à :
− → v M/R =
d x
d t
− → u
x +
d y
d t
− → u
y +
d z
d t
− → u
z
Nous nous replaçons maintenant dans R mais nous exprimons la position du point M dans
la base
− → u
x , − → u
y , − → u
z
. La vitesse du point M s’écrit alors :
− → v M/R =
d(x
− → u
x + y
− → u
y + z − → u
z )
d t
soit :
− → v M/R =
d x
d t
− → u
x +
d y
d t
− → u
y +
d z
d t
− → u
z + x
d − → u
x
d t
+ y
d − → u
y
d t
+ z
d − → u
z
d t