Changements de référentiels
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(R)
(R
)
O
O
y
x
x
z
z
M
R
O
V
→
u z
→
u x
→
u y
→
u x
→
u y
→
u z
→
Figure 2.8 • Mouvement de translation rectiligne.
Si le référentiel R
est en translation rectiligne uniforme par rapport à R, on peut écrire
que :
− − →
OO
= v o t − → u y
On en déduit donc que les coordonnées du point M dans R s’expriment en fonction des
coordonnées du point M dans R
par la transformation suivante dite transformation
de Galilée :
x − → u x + y − → u y + z − → u z = v o t − → u y + x
− → u x + y
− → u y + z
− → u z
Cette relation peut s’écrire en utilisant la notion de quadrivecteur (position, temps)
et en se rappelant que le temps en mécanique classique est une grandeur absolue sous
la forme matricielle suivante :
⎡
⎢
⎣
x
y
z
t
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
1 0 0 0
0 1 0 v o
0 0 1 0
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
x
y
z
t
⎤
⎥
⎦
b) Loi de composition des vitesses
Par définition nous pouvons écrire que :
− → v M/R =
d
−→
OM
d t
R
=
d(x − → u x + y − → u y + z − → u z )
d t
=
d x
d t
− → u x +
d y
d t
− → u y +
d z
d t
− → u z
− → v M/R =
d
− − →
O
M
d t
R
=
d(x
− → u x + y
− → u y + z
− → u z )
d t
=
d x
d t
− → u x +
d y
d t
− → u y +
d z
d t
− → u z
et
d
− − →
OO
d t
R
= − → v O /R = − → v R /R
En dérivant par rapport au temps dans le référentiel R la relation de Chasles qui donne
la position du point M, il vient :
d
−→
OM
d t
R
=
d
− − →
OO
d t
R
+
d
− − →
O
M
d t
R