Annexes
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De même nous voyons que si l’on connaît le périmètre d’un cercle de rayon r il est possible de déduire la surface du disque associé, puisque, comme l’indique la figure A1.18,
l’aire hachurée s’écrit :
dS = 2prdr =⇒ S = pr
2 + c
Il est évident que la constante c est nulle puisque la surface d’un disque de rayon nul
est nulle.
6.3. Calcul de différentielles
Les règles de calcul de différentielles sont les mêmes que pour le calcul de dérivées. Par
exemple, la différentielle d’un produit de fonctions est donnée par :
d(fg) = (fg)
dx = f
gdx + fg
dx = gdf + f dg
6.4. Différentielle d’une fonction de plusieurs variables
a) Définitions
Une fonction réelle de deux variables réelles est une application de R
2 dans R qui associe
au couple (x, y) le réel f (x, y) = z.
À tout point M du plan (O, x, y), on fait correspondre un point de l’espace de coordonnées
(x, y, z = f (x, y)). L’ensemble de ces points forme une surface. Un exemple simple est
constitué par le lieu des points d’altitude z = constante qui définit des plans parallèles au
plan O, x, y.
On peut généraliser ceci à une fonction de trois variables (x, y, z) → f (x, y, z). Évidemment,
la représentation géométrique ferait appel à un espace à quatre dimensions.
En sciences physiques, la plupart des grandeurs calculées peuvent être traitées
comme des fonctions de plusieurs variables. C’est ainsi que l’énergie dissipée par
effet joule dans une résistance R parcourue par un courant constant d’intensité i
pendant la durée t est W = R.i
2 .t = W(R, i, t).
b) Dérivées partielles
Lorsque l’on fixe toutes les variables sauf une, une fonction de plusieurs variables devient
une fonction d’une variable. On peut alors déterminer, si elle existe, la dérivée de cette
fonction par rapport à cette variable (les autres étant fixées).
Soit la fonction de deux variables f (x, y). Si on fixe y = y o , alors on peut écrire :
f (x, y o ) = g(x) ⇒
dg
dx
=
∂f
∂x
y=cste
La notation ∂ (d rond) est réservée aux dérivées partielles. Ainsi la fonction
f (x, y) = x
2 + 2yx possède deux dérivées partielles :
∂f
∂x
= 2x + 2y et
∂f
∂y
= 2x
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De même nous voyons que si l’on connaît le périmètre d’un cercle de rayon r il est possible de déduire la surface du disque associé, puisque, comme l’indique la figure A1.18,
l’aire hachurée s’écrit :
dS = 2prdr =⇒ S = pr
2 + c
Il est évident que la constante c est nulle puisque la surface d’un disque de rayon nul
est nulle.
6.3. Calcul de différentielles
Les règles de calcul de différentielles sont les mêmes que pour le calcul de dérivées. Par
exemple, la différentielle d’un produit de fonctions est donnée par :
d(fg) = (fg)
dx = f
gdx + fg
dx = gdf + f dg
6.4. Différentielle d’une fonction de plusieurs variables
a) Définitions
Une fonction réelle de deux variables réelles est une application de R
2 dans R qui associe
au couple (x, y) le réel f (x, y) = z.
À tout point M du plan (O, x, y), on fait correspondre un point de l’espace de coordonnées
(x, y, z = f (x, y)). L’ensemble de ces points forme une surface. Un exemple simple est
constitué par le lieu des points d’altitude z = constante qui définit des plans parallèles au
plan O, x, y.
On peut généraliser ceci à une fonction de trois variables (x, y, z) → f (x, y, z). Évidemment,
la représentation géométrique ferait appel à un espace à quatre dimensions.
En sciences physiques, la plupart des grandeurs calculées peuvent être traitées
comme des fonctions de plusieurs variables. C’est ainsi que l’énergie dissipée par
effet joule dans une résistance R parcourue par un courant constant d’intensité i
pendant la durée t est W = R.i
2 .t = W(R, i, t).
b) Dérivées partielles
Lorsque l’on fixe toutes les variables sauf une, une fonction de plusieurs variables devient
une fonction d’une variable. On peut alors déterminer, si elle existe, la dérivée de cette
fonction par rapport à cette variable (les autres étant fixées).
Soit la fonction de deux variables f (x, y). Si on fixe y = y o , alors on peut écrire :
f (x, y o ) = g(x) ⇒
dg
dx
=
∂f
∂x
y=cste
La notation ∂ (d rond) est réservée aux dérivées partielles. Ainsi la fonction
f (x, y) = x
2 + 2yx possède deux dérivées partielles :
∂f
∂x
= 2x + 2y et
∂f
∂y
= 2x