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Mécanique du point
O
z
z 0
x 0
y
y
x
M 0
Surface
définie par :
z = f(x,y)
Courbe z = f(x 0 ,y)
Courbe z = f(x ,y 0 )
Plan y = y
0
0
Plan x = x 0
Figure A1.19 • Représentation schématique d’une fonction z = f(x, y)
à plusieurs variables. En fixant l’une des variables, par exemple y = y o , nous
obtenons une fonction à une seule variable f(x, y o ).
Il est facile de généraliser ce résultat pour des fonctions à n variables et aussi définir des
dérivées partielles d’ordre supérieur. En reprenant l’exemple précédent, on aura :
∂
2 f
∂x 2 =
∂
∂x
∂f
∂x
= 2 ;
∂
2 f
∂y 2 =
∂
∂y
∂f
∂y
= 0 ;
∂
2 f
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f
∂y
= 2 =
∂
2 f
∂y∂x
=
∂
∂y
∂f
∂x
.
Remarque. Si les dérivées partielles secondes existent et sont continues alors on a toujours
∂
2 f
∂y∂x =
∂
2 f
∂x∂y . Ce résultat peut être facilement généralisé aux fonctions de trois variables ou
plus.
c) Différentielles partielles, différentielle totale
Reprenons le cas d’une fonction de deux variables f (x, y). La représentation géométrique
de cette fonction correspond à une surface. Si on fixe la variable y = y o , on définit alors
une courbe z = f (x, y o ) que l’on obtient par intersection de la surface avec le plan y = y o
comme le montre la figure A1.19.
Pour un accroissement dx infiniment petit de la variable x, l’accroissement de la fonction
se confond avec la différentielle. On peut écrire :
avec y = y o =⇒ dy = 0 on a df =
∂f
∂x
dx
On définit ainsi une différentielle partielle par rapport à x que l’on note
∂ x f =
∂f
∂x
dx