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Mécanique du point
Encart 1.1. Aire d’un disque et différentielle
Appliquons ceci au cas de la fonction S(R) donnant l’aire d’un disque de rayon R. Notre
préoccupation est de déterminer la différentielle de cette fonction et de la comparer à
l’accroissement de surface quand le rayon du disque passe de R à R+dR. De la surface
d’un cercle de rayon R, S(R) = pR
2 , nous tirons celle d’un cercle de rayon R+dR :
S(R + dR) = p(R + dR)
2 = pR
2 + 2pRdR + p(dR)
2 .
L’accroissement de surface résultant est donné par :
DS = S(R + dR) − S(R) = 2pRdR + p(dR)
2
alors que la différentielle de la fonction vaut dS = 2pRdR.
Nous constatons donc que DS =dS au premier ordre par rapport à l’infiniment petit
dR, c’est-à-dire en négligeant les termes d’ordre supérieur en dR (dR à une puissance
supérieure à 1 est infiniment petit devant dR lui-même infiniment petit).
En physique, la quantité dx sera toujours une variation infiniment petite de la variable.
On confondra donc toujours l’accroissement de la fonction (exprimé au premier
ordre par rapport à dx) avec la différentielle de cette fonction.
Encart 1.2. Détermination de l’aire d’un disque
Supposons que l’on cherche à exprimer la fonction S(r) donnant la surface d’un disque
de rayon r. Exprimons l’accroissement DS de cette fonction lorsque le rayon passe de
r à r+dr.
dr
r
r+dr
2πr
2πdr
2πr
Figure A1.18 • Représentation géométrique de la différentielle de la surface
d’un cercle et comparaison avec l’accroissement de surface.
La quantité DS est la surface élémentaire de la couronne et vaut 2prdr au premier
ordre par rapport à dr (le terme correctif (p(dr)
2 ) est un terme du deuxième ordre).
Cette expression est donc égale à la différentielle de notre fonction, soit :
dS = 2prdr = S
dr
Nous constatons donc que si l’on connaît le rayon d’un cercle, il est possible de déterminer l’augmentation de la surface de ce cercle si la variation de son rayon est faible.
Mécanique du point
Encart 1.1. Aire d’un disque et différentielle
Appliquons ceci au cas de la fonction S(R) donnant l’aire d’un disque de rayon R. Notre
préoccupation est de déterminer la différentielle de cette fonction et de la comparer à
l’accroissement de surface quand le rayon du disque passe de R à R+dR. De la surface
d’un cercle de rayon R, S(R) = pR
2 , nous tirons celle d’un cercle de rayon R+dR :
S(R + dR) = p(R + dR)
2 = pR
2 + 2pRdR + p(dR)
2 .
L’accroissement de surface résultant est donné par :
DS = S(R + dR) − S(R) = 2pRdR + p(dR)
2
alors que la différentielle de la fonction vaut dS = 2pRdR.
Nous constatons donc que DS =dS au premier ordre par rapport à l’infiniment petit
dR, c’est-à-dire en négligeant les termes d’ordre supérieur en dR (dR à une puissance
supérieure à 1 est infiniment petit devant dR lui-même infiniment petit).
En physique, la quantité dx sera toujours une variation infiniment petite de la variable.
On confondra donc toujours l’accroissement de la fonction (exprimé au premier
ordre par rapport à dx) avec la différentielle de cette fonction.
Encart 1.2. Détermination de l’aire d’un disque
Supposons que l’on cherche à exprimer la fonction S(r) donnant la surface d’un disque
de rayon r. Exprimons l’accroissement DS de cette fonction lorsque le rayon passe de
r à r+dr.
dr
r
r+dr
2πr
2πdr
2πr
Figure A1.18 • Représentation géométrique de la différentielle de la surface
d’un cercle et comparaison avec l’accroissement de surface.
La quantité DS est la surface élémentaire de la couronne et vaut 2prdr au premier
ordre par rapport à dr (le terme correctif (p(dr)
2 ) est un terme du deuxième ordre).
Cette expression est donc égale à la différentielle de notre fonction, soit :
dS = 2prdr = S
dr
Nous constatons donc que si l’on connaît le rayon d’un cercle, il est possible de déterminer l’augmentation de la surface de ce cercle si la variation de son rayon est faible.