Annexes
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x 0 +dx
x o
O
f(x o )
f(x 0 +dx)
x
y
y=f(x)
α
D
C
B
A
Figure A1.17 • Signification géométrique de la notion de dérivée.
Cette différentielle est fonction de l’abscisse x mais aussi de la variation Dx choisie.
Remarque. Pour la fonction f (x) = y = x, on obtient df (x) =dy =dx = 1.Dx = Dx. On
écrira donc toujours : df (x) = f
(x)dx.
Définition. La différence d’une fonction f d’une variable réelle x est égale au produit
de la dérivée de cette fonction par l’élément différentiel (qui est d(variable)).
Exemples
La fonction y(x) = 2x a pour différentielle dy = 2dx.
La fonction S(R) = pR
2 a pour différentielle dS = 2pRdR.
Il est important de remarquer que ces quantités sont des nombres réels que l’on peut
manipuler comme on le veut. De cette façon on peut écrire que :
f
(x) =
df
dx
ce qui correspond à l’autre notation possible de la dérivée d’une fonction que l’on appelle
notation différentielle.
6.2. Interprétation géométrique
Il est intéressant de comparer l’accroissement de la fonction f = f (x+dx) − f (x) et la
différentielle de cette fonction pour la même abscisse x et variation dx. Cette comparaison
peut se faire graphiquement.
df (x o ) = f
(x o )dx = tan adx = CD
Df = f (x o + dx) − f (x o ) = BD
On constate que la différentielle df est différente de l’accroissement de la fonction Df .
Mais, lorsque la quantité dx devient infiniment petite, Df tend vers df . Il en résulte que la
différentielle d’une fonction s’identifie à la variation de la fonction pour un changement
infinitésimal de la variable.