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Mécanique du point
Il est immédiat de constater que les vecteurs − → u dépendent du temps par l’intermédiaire
de u(t). La dérivation temporelle de ces vecteurs s’écrit en utilisant la notation différentielle :
d − → u r (t)
dt
=
d(cos u(t)
− →
i + sin u(t)
− →
j )
dt
d − → u u (t)
dt
=
d(− sin u(t)
− →
i + cos u(t)
− →
j )
dt
Il faut alors remarquer que nous devons dériver des sinus et cosinus par rapport à la
variable de dérivation t (et non u). En utilisant le fait que :
d cos u(t)
dt
= − sin u(t)
du(t)
dt
= − sin u(t)
.
u(t)
il vient :
d −
→ u r
dt
= (− sin u(t)
− →
i + cos u(t)
− →
j )
du(t)
dt
d −
→ u u
dt
= (cos u(t)
− →
i + sin u(t)
− →
j )
du(t)
dt
En comparant ces résultats à l’expression des vecteurs − → u on voit que :
d − → u r
dt
=
du
dt
− → u u
et
d − → u u
dt
= −
du
dt
− → u r
Nous pouvons donc énoncer ce résultat en tant que théorème, que par la suite nous retiendrons sous l’appellation du théorème de la dérivée du vecteur unitaire tournant.
Théorème de la dérivée du vecteur unitaire tournant
La dérivée par rapport au temps d’un vecteur unitaire tournant est égale au vecteur unitaire tournant qui, lui, est directement orthogonal multiplié par la vitesse
angulaire de la rotation de la base tournante.
6. DIFFÉRENTIELLE D’UNE FONCTION
6.1. Définition
Considérons une fonction f de la variable x. Cette fonction est dérivable sur son domaine
de dérivation et sa dérivée s’écrit :
f
(x o ) = lim
x→xo
f (x) − f (x o )
x − x o
La représentation géométrique de cette fonction correspond, dans le plan xOy, à une
courbe définie par y = f (x) comme le montre la figure A1.17. Considérons la droite tangente à la courbe au point d’abscisse x o . La dérivée f
(x o ) est égale à la tangente de l’angle
que fait cette droite avec l’axe des x.
Soit une variation quelconque Dx de la variable x. On définit la différentielle de la fonction
f (x) par : d f (x) = f
(x) Dx.