Annexes
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Si la ligne d’action de la force se trouve dans un plan perpendiculaire à D, le moment de
la force par rapport à D est donné par :
M− → F /D =
− →
OP
F sin(a) = ±Fd
où a représente l’angle entre
− →
OP et
− →
F .
La quantité : HP = d = OP| sin(a)| est appelée bras de levier de la force.
Remarque. Si le bras de levier est nul, c’est-à-dire si la droite d’action de la force passe
par l’axe de rotation, le moment de
− →
F est alors nul.
5. DÉRIVATION VECTORIELLE
5.1. Définition
On appelle dérivée d’un vecteur
−→
OM dans une base fixe (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) le vecteur dont les
composantes sont les dérivées des composantes du vecteur
−→
OM dans cette base, soit :
d
−→
OM
dt
=
d(x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k )
dt
= ˙ x
− →
i + ˙ y
− →
j + ˙ z
− →
k
Il est très important de remarquer que la dérivée des vecteurs de base est nulle car ces
vecteurs sont constants. De plus, les règles de dérivation sont les mêmes que pour les
fonctions scalaires.
5.2. Dérivation d’un vecteur unitaire tournant
x
y
O
θ
i
→
ρ
u
→
j
→
θ
u
→
Figure A1.16 • Représentation
des vecteurs tournants dans le
repère (O,x,y).
Considérons le schéma de la figure A1.16. Le repère O, x, y est muni des bases orthornomées :
− →
i ,
− →
j
, base du système de coordonnées cartésiennes, fixe par rapport aux axes x, y et
− → u r , − → u u
, base du système de coordonnées polaires, mobile par rapport à ces axes.
Les vecteurs
− →
i et
− →
j sont constants mais les vecteurs unitaires − → u r et − → u u ne le sont pas car ils
peuvent tourner autour de la normale au plan.
Leur direction varie donc au cours du temps et les
deux vecteurs − → u r et − → u u sont appelés des vecteurs
tournants. Nous allons voir comment dériver ces
vecteurs non constants dans le temps. Exprimonsles dans la base
O,
− →
i ,
− →
j
:
− → u r (t) = cos u(t)
− →
i + sin u(t)
− →
j
− → u u (t) = − sin u(t)
− →
i + cos u(t)
− →
j
(1.1)