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Mécanique du point
En développant les produits vectoriels des vecteurs de base il vient :
− → a ∧
− →
b =
z 2 y 1 − z 1 y 2
z 1 x 2 − z 2 x 1
x 1 y 2 − x 2 y 1
4.4. Applications
a) Normale à un plan
Soit trois points A, B et C. Par ces trois points, il passe un plan dont la normale peut être
définie par le produit vectoriel des vecteurs contenus dans le plan. Le vecteur unitaire − → u
colinéaire à la normale est donné par :
− → u =
− →
AB ∧
− →
AC
− →
AB ∧
− →
AC
b) Moment d’une force
Considérons un solide en rotation autour d’un axe fixe et soumis à une force
− →
F dont le
point d’application est en P (figure A1.15).
k
→
+
Δ
F
→
α
O
P
H
d
OP
HP
=
=
α
sin
Figure A1.15 • Représentation du moment d’une force par rapport à O.
Par définition, le moment de la force par rapport à O est donné par :
− →
M− → F /O =
− →
OP ∧
− →
F
Le moment d’une force est donc un vecteur perpendiculaire à la fois à la force
− →
F et à
− →
OP.
La direction et le sens de ce vecteur donnent le sens de rotation que produira l’action de
la force
− →
F autour de l’axe.
Dans le cas où le solide peut tourner autour d’un axe D passant par le point O, le moment
de
− →
F par rapport à D correspond à la projection de
− →
M− → F /O suivant la direction de D soit :
M− → F /D =
− →
M− → F /O .
− →
k =
− →
OP ∧
− →
F
.
− →
k
où
− →
k est un vecteur unitaire suivant D définissant le sens positif de rotation avec la convention habituelle de la règle du tire-bouchon.