Annexes
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b) Condition de nullité
Le produit vectoriel de deux vecteurs − → a et
− →
b est nul si et seulement si :
• l’un des deux vecteurs est nul ;
• les vecteurs − → a et
− →
b ont même direction.
c) Double produit vectoriel
Nous donnons sans démonstration l’expression du double produit vectoriel :
− → a ∧ (
− →
b ∧ − → c ) = ( − → a . − → c )
− →
b − ( − → a .
− →
b ) − → c
d) Signification géométrique du produit vectoriel
Considérons deux vecteurs − → a et
− →
b faisant un angle a entre eux :
sin
b
b
a
b
a ∧
→
a
→
→
→
→
α
α
Figure A1.14 • Représentation géométrique de la surface correspondant au produit vectoriel.
La norme du produit vectoriel est égale à c = ab sin a.
C’est la surface grisée du rectangle de la figure A1.14. Cette surface correspond de toute
évidence à la surface du parallélogramme défini par les vecteurs − → a et
− →
b . En outre,
le produit vectoriel représente le vecteur surface orienté perpendiculairement à la surface
définie par − → a et
− →
b .
4.3. Méthode de calcul
Considérons deux vecteurs − → a et
− →
b dont les composantes sont données par :
− → a =
x 1
y 1
z 1
− →
b =
x 2
y 2
z 2
Le produit vectoriel de − → a et
− →
b peut s’exprimer en fonction des composantes de − → a et de
− →
b par :
− → a ∧
− →
b =
x 1
− →
i + y 1
− →
j + z 1
− →
k
∧
x 2
− →
i + y 2
− →
j + z 2
− →
k
soit
− → a ∧
− →
b =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x 1 y 2
− →
i ∧
− →
j + y 1 x 2
− →
j ∧
− →
i
+x 1 z 2
− →
i ∧
− →
k + z 1 x 2
− →
k ∧
− →
i
+z 1 y 2
− →
k ∧
− →
j + y 1 z 2
− →
j ∧
− →
k
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭