Annexes
289
3.2. Propriétés
a) Condition de nullité
Le produit scalaire de deux vecteurs − → a et
− →
b est nul si et seulement si :
• l’un des vecteurs est nul ;
• les deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux.
b) Relation avec la norme
La norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de l’autoproduit scalaire.
− → a =
√ − → a . − → a
c) Angle entre deux vecteurs
Par définition, l’angle formé entre deux vecteurs − → a et
− →
b est donné par :
cos(a) =
a. b
ab
Ainsi, le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs − → a (1,2,0) et
− →
b (3,-2,1) est donné par
cos(a) = −
1
√
70
3.3. Applications
a) Identité d’Alcachi : longueur d’un côté d’un triangle
a
b
c
α
C
A
B
Figure A1.11 • Notations utilisées dans un triangle quelconque ABC.
Il est possible de calculer la longueur du côté AB à partir du produit scalaire de
− →
AB par
lui-même.
− →
AB =
− →
AC +
− →
CB
AB
2 = AC
2 + CB
2 + 2
− →
AC.
− →
CB
c
2 = b
2 + c
2 + 2bc cos a