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Mécanique du point
x
y
z
r
θ
ϕ
O
θ
r
u
→
ϕ
u
→
M
θ
u
→
rsin
Figure A1.9 • Illustration des grandeurs utilisées dans le système de coordonnées sphériques.
3. PRODUIT SCALAIRE
3.1. Définition
α
a
→
b
→
Figure A1.10 • Produit
scalaire de deux vecteurs.
Soit deux vecteurs − → a et
− →
b faisant un angle a entre eux ;
on appelle produit scalaire de − → a par
− →
b la quantité scalaire définie par :
− → a .
− →
b = − → a
− →
b
cos(a)
Lorsque l’un des deux vecteurs du produit scalaire est un
vecteur unitaire, le produit scalaire est alors la projection
du vecteur sur la direction du vecteur unitaire, c’est-àdire la composante de ce vecteur dans cette direction.
Le produit scalaire est une grandeur positive, négative ou nulle selon la valeur de l’angle a
entre les deux vecteurs qui forment le produit.
Le calcul du produit scalaire peut se faire à partir des composantes des deux vecteurs. En
effet nous avons :
− → a .
− →
b =
x 1
− →
i + y 1
− →
j + z 1
− →
k
.
x 2
− →
i + y 2
− →
j + z 2
− →
k
= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
On utilise aussi la notation suivante en vecteur colonne :
− → a .
− →
b =
x 1
y 1
z 1
.
x 2
y 2
z 2
= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2