Annexes
287
Par définition de la norme, sa longueur est donnée par :
− →
V
= V =
x 2 + y 2 + z 2
2.3. Coordonnées cylindriques ou polaires
En coordonnées cylindriques on utilise une base que l’on notera
− → u r , − → u u ,
− →
k
. Cette
base est utilisée dans tous les problèmes ou la symétrie est de révolution autour d’un axe
que l’on fixe arbitrairement comme étant l’axe z. Le vocable « coordonnées polaires » est
réservé au problème plan z = 0. La base est repérée par rapport au repère (O, x, y, z) par
l’angle u que fait le vecteur − → u r avec l’axe des x.
x
y
O
θ
i
→
j
→
M
ρ
u
→
ρ
u
→
θ
u
→
θ
u
→
ρ
z
x
y
θ
ρ
ρ
M
i
→
k
→
j
→
θ
u
→
θ
u
→
ρ
u
→
ρ
u
→
O
Figure A1.8 • Représentation du système de coordonnées polaires (à gauche)
et de coordonnées cylindriques (à droite).
Le vecteur
−→
OM s’écrit dans la base polaire :
−→
OM = r − → u r =⇒ OM = r.
Il est repéré par deux coordonnées de position qui sont r et u. Dans la base cylindrique,
ce vecteur s’écrit :
−→
OM = r − → u r + z
− →
k =⇒ OM =
r 2 + z 2 .
Il est repéré par trois coordonnées de positions qui sont r, u et z.
2.4. Coordonnées sphériques
Ce système de coordonnées , illustré sur la figure A1.9, est très utile dans tous les problèmes à symétrie sphérique dont un bon exemple est le repérage d’un point à la surface
de la Terre.
Le vecteur
−→
OM est un vecteur radial. Il peut s’exprimer en fonction du vecteur unitaire radial − → u r qui lui est colinéaire :
−→
OM = r − → u r et la base locale sphérique associée à la position
du point M est formée des trois vecteurs unitaires
− → u r , − → u u , − → u w
. Ces trois vecteurs unitaires sont associés de façon à former une base orthonormée directe. Nous noterons que
ces vecteurs dépendent de la position du point M et donc varient d’un point à l’autre de
l’espace. Seule leur norme reste constante puisqu’ils sont unitaires. Le point M est repéré
dans ce système de coordonnées par trois coordonnées de positions qui sont r, u et w.
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Par définition de la norme, sa longueur est donnée par :
− →
V
= V =
x 2 + y 2 + z 2
2.3. Coordonnées cylindriques ou polaires
En coordonnées cylindriques on utilise une base que l’on notera
− → u r , − → u u ,
− →
k
. Cette
base est utilisée dans tous les problèmes ou la symétrie est de révolution autour d’un axe
que l’on fixe arbitrairement comme étant l’axe z. Le vocable « coordonnées polaires » est
réservé au problème plan z = 0. La base est repérée par rapport au repère (O, x, y, z) par
l’angle u que fait le vecteur − → u r avec l’axe des x.
x
y
O
θ
i
→
j
→
M
ρ
u
→
ρ
u
→
θ
u
→
θ
u
→
ρ
z
x
y
θ
ρ
ρ
M
i
→
k
→
j
→
θ
u
→
θ
u
→
ρ
u
→
ρ
u
→
O
Figure A1.8 • Représentation du système de coordonnées polaires (à gauche)
et de coordonnées cylindriques (à droite).
Le vecteur
−→
OM s’écrit dans la base polaire :
−→
OM = r − → u r =⇒ OM = r.
Il est repéré par deux coordonnées de position qui sont r et u. Dans la base cylindrique,
ce vecteur s’écrit :
−→
OM = r − → u r + z
− →
k =⇒ OM =
r 2 + z 2 .
Il est repéré par trois coordonnées de positions qui sont r, u et z.
2.4. Coordonnées sphériques
Ce système de coordonnées , illustré sur la figure A1.9, est très utile dans tous les problèmes à symétrie sphérique dont un bon exemple est le repérage d’un point à la surface
de la Terre.
Le vecteur
−→
OM est un vecteur radial. Il peut s’exprimer en fonction du vecteur unitaire radial − → u r qui lui est colinéaire :
−→
OM = r − → u r et la base locale sphérique associée à la position
du point M est formée des trois vecteurs unitaires
− → u r , − → u u , − → u w
. Ces trois vecteurs unitaires sont associés de façon à former une base orthonormée directe. Nous noterons que
ces vecteurs dépendent de la position du point M et donc varient d’un point à l’autre de
l’espace. Seule leur norme reste constante puisqu’ils sont unitaires. Le point M est repéré
dans ce système de coordonnées par trois coordonnées de positions qui sont r, u et w.