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Mécanique du point
2. COMPOSANTES D’UN VECTEUR
2.1. Repère
Dans de nombreux problèmes, il importe de préciser
l’orientation d’un vecteur par rapport à une référence arbitrairement choisie. Les directions de référence, ou axes du système de référence, permettront de qualifier l’orientation
du vecteur par rapport à ce système. Le système de référence que l’on choisit est appelé
repère. Il est constitué d’un système d’axes et d’une origine. Dans l’espace physique, l’un
des repères les plus utilisés est le repère cartésien. Il est formé d’une origine O et de trois
axes x, y et z. Dans le repère choisi, on se définit ensuite une base. En physique, nous utiliserons exclusivement une base orthonormée, c’est-à-dire une base dans laquelle les trois
vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et unitaires.
La position de la base dans le référentiel définit le système de coordonnées du point dans
le référentiel. Un système de coordonnées très utilisé est le système de coordonnées cartésiennes. Il en existe d’autres, comme le système de coordonnées polaires ou sphériques.
2.2. Coordonnées cartésiennes
Dans le système de coordonnées cartésiennes présenté sur la figure A1.7, la direction des
vecteurs de base
− →
i ,
− →
j ,
− →
k
du repère (O, x, y, z) est confondue avec celle des axes du
repère. Les vecteurs sont orthornormés, c’est-à-dire orthogonaux entre eux et unitaires
(la longueur du vecteur est égale à 1). Tout point M dans l’espace est défini par ses trois
coordonnées (x, y, z) et on lui associe un vecteur
−→
OM = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k représenté
symboliquement par ses composantes (x, y, z).
i
→
k
→
j
→
B (x 2 ,y 2 ,0)
A (x 1 ,y 1 ,0)
O
z
y
x
Figure A1.7 • Représentation du système de coordonnées cartésiennes.
Si les points A et B sont contenus dans le plan xOy, les vecteurs position des points
A(x 1 , y 1 , 0) et B(x 2 , y 2 , 0), notés
− →
OA et
− →
OB, vérifient :
− →
OA = x 1
− →
i + y 1
− →
j
− →
OB = x 2
− →
i + y 2
− →
j
ce qui permet en utilisant la relation de Chasles de définir le vecteur
− →
AB :
− →
AB = (x 2 − x 1 )
− →
i + (y 2 − y 1 )
− →
j
La méthode précédente est généralisable à trois dimensions et un vecteur quelconque de
l’espace pourra toujours s’écrire :
− →
V = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k .
Mécanique du point
2. COMPOSANTES D’UN VECTEUR
2.1. Repère
Dans de nombreux problèmes, il importe de préciser
l’orientation d’un vecteur par rapport à une référence arbitrairement choisie. Les directions de référence, ou axes du système de référence, permettront de qualifier l’orientation
du vecteur par rapport à ce système. Le système de référence que l’on choisit est appelé
repère. Il est constitué d’un système d’axes et d’une origine. Dans l’espace physique, l’un
des repères les plus utilisés est le repère cartésien. Il est formé d’une origine O et de trois
axes x, y et z. Dans le repère choisi, on se définit ensuite une base. En physique, nous utiliserons exclusivement une base orthonormée, c’est-à-dire une base dans laquelle les trois
vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et unitaires.
La position de la base dans le référentiel définit le système de coordonnées du point dans
le référentiel. Un système de coordonnées très utilisé est le système de coordonnées cartésiennes. Il en existe d’autres, comme le système de coordonnées polaires ou sphériques.
2.2. Coordonnées cartésiennes
Dans le système de coordonnées cartésiennes présenté sur la figure A1.7, la direction des
vecteurs de base
− →
i ,
− →
j ,
− →
k
du repère (O, x, y, z) est confondue avec celle des axes du
repère. Les vecteurs sont orthornormés, c’est-à-dire orthogonaux entre eux et unitaires
(la longueur du vecteur est égale à 1). Tout point M dans l’espace est défini par ses trois
coordonnées (x, y, z) et on lui associe un vecteur
−→
OM = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k représenté
symboliquement par ses composantes (x, y, z).
i
→
k
→
j
→
B (x 2 ,y 2 ,0)
A (x 1 ,y 1 ,0)
O
z
y
x
Figure A1.7 • Représentation du système de coordonnées cartésiennes.
Si les points A et B sont contenus dans le plan xOy, les vecteurs position des points
A(x 1 , y 1 , 0) et B(x 2 , y 2 , 0), notés
− →
OA et
− →
OB, vérifient :
− →
OA = x 1
− →
i + y 1
− →
j
− →
OB = x 2
− →
i + y 2
− →
j
ce qui permet en utilisant la relation de Chasles de définir le vecteur
− →
AB :
− →
AB = (x 2 − x 1 )
− →
i + (y 2 − y 1 )
− →
j
La méthode précédente est généralisable à trois dimensions et un vecteur quelconque de
l’espace pourra toujours s’écrire :
− →
V = x
− →
i + y
− →
j + z
− →
k .