Trajectoires d’un système à deux corps
277
11 Orbite de transfert
On veut faire passer un satellite de l’orbite circulaire C 1 de rayon R 1 = 7 000 km
à l’orbite C 2 de rayon R 2 = 7 400 km. Pour cela il faut provoquer la mise à feu, au
point M 1 , de fusées permettant de modifier légèrement le module de la vitesse, sans
changer sa direction ni son sens, ceci en un temps très court devant la période de
rotation. La vitesse V
1 est inférieure à la vitesse de libération du point M 1 .
1) Quelle est la nouvelle orbite du satellite : orbite de transfert ou d’échange (E) ?
O
M1
(C1)
(C2)
M2
(E)
Figure 10.13
2) On se propose de déterminer V
1 de façon que la nouvelle orbite passe par le point
M 2 (figure 10.13). Montrer que l’orbite (E)
sera tangente en M 2 au cercle (C 2 ) de rayon
R 2 . Quelle sera la période T E de l’orbite
d’échange ?
3) Soit V
2 la vitesse du satellite en M 2 sur
(E). En utilisant l’énergie mécanique et la
constante des aires, déterminer les expressions des vitesses V
1 et V
2 . Les calculer numériquement.
4) Au point M 2 , on accélère à nouveau le satellite pour le placer sur une orbite circulaire
(C 2 ). Sa vitesse passe alors de V
2 à V 2 , sans
changement de direction où de sens. Calculer V 2 et la variation totale d’énergie cinétique due aux deux accélérations, celle subie
en M 1 et celle subie en M 2 . Comparer cette variation à E 2 − E 1 . Expliquer ce résultat. Calculer le travail fourni par les moteurs des fusées pour réaliser le changement
d’orbite.
A.N. : R T = 6 378 km, M T = 6.10
24 kg, G = 6,67.10
−11 USI.
Solutions
1 1) Soit P le périhélie de la trajectoire et A l’aphélie. Si F est le foyer (position du Soleil autour
duquel tournent les planètes) alors (figure 11.8) : FA + FP = 2a.
Si l’on reprend l’équation polaire de l’ellipse, nous savons que : r (u) =
p
1+e cos u
.
Au périhélie (figure 11.8) nous avons u = 0, d’où rP = FP = p/(1 + e) et à l’aphélie u = p, soit
rA = FA = p/(1 − e). Il s’ensuit que 2a =
p
1+e
+
p
1−e
=
2p
1−e 2 , ce qui conduit à rA = FA = a(1 + e)
et rP = FP = a(1 − e), d’où rA = 1,6614 U.A., rP = 1,3786 U.A.
2) Le demi-petit axe b est donné par (figure 11.8) b
2 = a
2 (1 − e
2 ), soit b = 1,5134 U.A.
2 1) La vitesse d’une planète est donnée par − → v = ˙ r − → u r + r ˙
u − → u u.
2) Au périhélie et à l’aphélie r par un extrémum ce qui impose ˙ r = 0;on a donc dans ces deux
positions : − → v = r ˙
u − → u u.
3) L’aire parcourue par la planète entre deux instants t et t + dt est donnée par :
dA
dt
=
1
2
r
2 ˙
u =
1
2
C.
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11 Orbite de transfert
On veut faire passer un satellite de l’orbite circulaire C 1 de rayon R 1 = 7 000 km
à l’orbite C 2 de rayon R 2 = 7 400 km. Pour cela il faut provoquer la mise à feu, au
point M 1 , de fusées permettant de modifier légèrement le module de la vitesse, sans
changer sa direction ni son sens, ceci en un temps très court devant la période de
rotation. La vitesse V
1 est inférieure à la vitesse de libération du point M 1 .
1) Quelle est la nouvelle orbite du satellite : orbite de transfert ou d’échange (E) ?
O
M1
(C1)
(C2)
M2
(E)
Figure 10.13
2) On se propose de déterminer V
1 de façon que la nouvelle orbite passe par le point
M 2 (figure 10.13). Montrer que l’orbite (E)
sera tangente en M 2 au cercle (C 2 ) de rayon
R 2 . Quelle sera la période T E de l’orbite
d’échange ?
3) Soit V
2 la vitesse du satellite en M 2 sur
(E). En utilisant l’énergie mécanique et la
constante des aires, déterminer les expressions des vitesses V
1 et V
2 . Les calculer numériquement.
4) Au point M 2 , on accélère à nouveau le satellite pour le placer sur une orbite circulaire
(C 2 ). Sa vitesse passe alors de V
2 à V 2 , sans
changement de direction où de sens. Calculer V 2 et la variation totale d’énergie cinétique due aux deux accélérations, celle subie
en M 1 et celle subie en M 2 . Comparer cette variation à E 2 − E 1 . Expliquer ce résultat. Calculer le travail fourni par les moteurs des fusées pour réaliser le changement
d’orbite.
A.N. : R T = 6 378 km, M T = 6.10
24 kg, G = 6,67.10
−11 USI.
Solutions
1 1) Soit P le périhélie de la trajectoire et A l’aphélie. Si F est le foyer (position du Soleil autour
duquel tournent les planètes) alors (figure 11.8) : FA + FP = 2a.
Si l’on reprend l’équation polaire de l’ellipse, nous savons que : r (u) =
p
1+e cos u
.
Au périhélie (figure 11.8) nous avons u = 0, d’où rP = FP = p/(1 + e) et à l’aphélie u = p, soit
rA = FA = p/(1 − e). Il s’ensuit que 2a =
p
1+e
+
p
1−e
=
2p
1−e 2 , ce qui conduit à rA = FA = a(1 + e)
et rP = FP = a(1 − e), d’où rA = 1,6614 U.A., rP = 1,3786 U.A.
2) Le demi-petit axe b est donné par (figure 11.8) b
2 = a
2 (1 − e
2 ), soit b = 1,5134 U.A.
2 1) La vitesse d’une planète est donnée par − → v = ˙ r − → u r + r ˙
u − → u u.
2) Au périhélie et à l’aphélie r par un extrémum ce qui impose ˙ r = 0;on a donc dans ces deux
positions : − → v = r ˙
u − → u u.
3) L’aire parcourue par la planète entre deux instants t et t + dt est donnée par :
dA
dt
=
1
2
r
2 ˙
u =
1
2
C.