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Mécanique du point
Cette quantité est constante en vertu de la conservation du moment cinétique. Ceci constitue
la deuxième loi de Kepler. C est appelée la constante des aires.
4) Il est facile de voir qu’au périhélie et à l’aphélie : vP = rP ˙
uP et vA = rA ˙
uA .
En utilisant le résultat de la question 3, il est facile de voir que vPrP = vArA = C.
Le rapport des deux vitesses est donc (voir exercice 1)
v P
v A
=
r A
r P
=
1+e
1−e
.
Il s’ensuit que la vitesse la plus élevée est celle du périhélie. Plus la planète est éloignée et plus
elle se déplace vite.
5) Sa vitesse à l’aphélie est vA = 0,8456 km.s
−1 . L’excentricité de la trajectoire est e = 0,97.
3 1) Voir la figure 10.14.
0
5
10
0
5
10
15
20
25
30
a (U.A.)
T (Année)
0
500
1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
a 3
T
2
Figure 10.14
Nous voyons que le carré de la période est proportionnel au cube du grand axe a. De plus,
dans le système d’unité choisi (T en années et a en U.A.), la pente de la droite T
2 = f (a
3 ) est
égale à 1 et l’on a donc T
2 = a
3 .
2) La remarque précédente conduit à a
3 (Mercure) = 0, 24
2 =⇒ a(Mercure) = 0, 0192 U.A.
T
2 (V´ enus) = 0,72
3 =⇒ T = 0, 1866 an.
4 Orbite de Jupiter
1) La distance entre les deux foyers de l’orbite de Jupiter est 2OG = 2c = 2ae = 0,9672 U.A.
2) À l’aphélie nous avons vu (exercice 1) que rA = a(1 + e) = 5,6836 U.A.
5 Première vitesse cosmique
1) Il s’agit d’une orbite circulaire ; donc la vitesse du satellite est de norme constante. Dans
la base de Frenet − → e t,
− → e n relative au référentiel géocentrique considéré comme galiléen, le
principe fondamental de la dynamique appliqué au sytème satellite conduit à :
m − → a S/R = m
d v
d t
− → e t + m
v
2
r
− → e n = G
mMT
r 2
− → e n.
Mécanique du point
Cette quantité est constante en vertu de la conservation du moment cinétique. Ceci constitue
la deuxième loi de Kepler. C est appelée la constante des aires.
4) Il est facile de voir qu’au périhélie et à l’aphélie : vP = rP ˙
uP et vA = rA ˙
uA .
En utilisant le résultat de la question 3, il est facile de voir que vPrP = vArA = C.
Le rapport des deux vitesses est donc (voir exercice 1)
v P
v A
=
r A
r P
=
1+e
1−e
.
Il s’ensuit que la vitesse la plus élevée est celle du périhélie. Plus la planète est éloignée et plus
elle se déplace vite.
5) Sa vitesse à l’aphélie est vA = 0,8456 km.s
−1 . L’excentricité de la trajectoire est e = 0,97.
3 1) Voir la figure 10.14.
0
5
10
0
5
10
15
20
25
30
a (U.A.)
T (Année)
0
500
1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
a 3
T
2
Figure 10.14
Nous voyons que le carré de la période est proportionnel au cube du grand axe a. De plus,
dans le système d’unité choisi (T en années et a en U.A.), la pente de la droite T
2 = f (a
3 ) est
égale à 1 et l’on a donc T
2 = a
3 .
2) La remarque précédente conduit à a
3 (Mercure) = 0, 24
2 =⇒ a(Mercure) = 0, 0192 U.A.
T
2 (V´ enus) = 0,72
3 =⇒ T = 0, 1866 an.
4 Orbite de Jupiter
1) La distance entre les deux foyers de l’orbite de Jupiter est 2OG = 2c = 2ae = 0,9672 U.A.
2) À l’aphélie nous avons vu (exercice 1) que rA = a(1 + e) = 5,6836 U.A.
5 Première vitesse cosmique
1) Il s’agit d’une orbite circulaire ; donc la vitesse du satellite est de norme constante. Dans
la base de Frenet − → e t,
− → e n relative au référentiel géocentrique considéré comme galiléen, le
principe fondamental de la dynamique appliqué au sytème satellite conduit à :
m − → a S/R = m
d v
d t
− → e t + m
v
2
r
− → e n = G
mMT
r 2
− → e n.