Trajectoires d’un système à deux corps
275
4 Orbite de Jupiter
1) Quelle est la distance entre les deux foyers de l’orbite de Jupiter ?
2) Quelle est la distance Jupiter-Soleil à l’aphélie ?
5 Première vitesse cosmique
On désire mettre un satellite en orbite circulaire basse autour de la Terre à l’altitude
de 130 km. À cette altitude, le satellite est en dehors des couches atmosphériques. Il
n’est donc pas freiné.
1) Appliquer le principe fondamental de la dynamique au système satellite.
2) Déterminer la vitesse du satellite sur son orbite. Cette vitesse est appelée première
vitesse cosmique.
6 Satellite géostationnaire
1) Déterminer l’altitude que l’on doit donner à un satellite pour qu’il soit en orbite
géostationnaire autour de la Terre. Préciser la nature de sa trajectoire ainsi que le
plan de son orbite. Déterminer la vitesse du satellite sur sa trajectoire.
2) Pour mettre en place un satellite géostationnaire, on le lance sur une orbite de
transfert de périgée r p = 6 600 km et d’apogée le rayon de l’orbite géostationnaire.
En déduire le demi-grand axe de cette orbite ainsi que la vitesse au périgée et à
l’apogée. Que doit-on faire pour amener le satellite de l’orbite de transfert à l’orbite
géostationnaire ?
7 Vitesse de libération ou deuxième vitesse cosmique
1) Rappeler l’expression de l’énergie effective d’un système.
2) Tracer sur un même graphe l’énergie potentielle, l’énergie effective et l’énergie
mC
2 /2r
2 .
3) Que se passe-t-il si l’énergie effective est négative ? Commenter la forme de la
trajectoire.
4) À quelle condition peut-on libérer un objet de l’attraction terrestre ?
5) Calculer la valeur de la vitesse de libération si l’on considère que l’on part d’une
orbite de transfert à 220 km d’altitude.
A.N. : R T = 6378 km, M T = 6.10
24 kg, G = 6.67.10
−11 USI.
8 Trajectoire elliptique
Soit la courbe plane d’équation polaire : r =
p
1+e cos u avec p > 0 et 0 < e < 1.
1) À l’aide de coordonnées cartésiennes, montrer que cette courbe est une ellipse dont
on calculera les demi-axes a et b en fonction du paramètre p et de l’excentricité e.
Dans la suite on supposera que le mouvement est elliptique.
2) Montrer que l’accélération radiale de ce mouvement est de la forme a r = −
K
r 2 .
On retrouvera d’abord l’expression générale de a r en fonction de r et de leurs dérivées
temporelles dans le cas d’un mouvement plan quelconque, puis on posera pour le
mouvement à force centrale r
2 ˙
u = C.
3) Exprimer le paramètre p de l’ellipse en fonction des constantes K et C.
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4 Orbite de Jupiter
1) Quelle est la distance entre les deux foyers de l’orbite de Jupiter ?
2) Quelle est la distance Jupiter-Soleil à l’aphélie ?
5 Première vitesse cosmique
On désire mettre un satellite en orbite circulaire basse autour de la Terre à l’altitude
de 130 km. À cette altitude, le satellite est en dehors des couches atmosphériques. Il
n’est donc pas freiné.
1) Appliquer le principe fondamental de la dynamique au système satellite.
2) Déterminer la vitesse du satellite sur son orbite. Cette vitesse est appelée première
vitesse cosmique.
6 Satellite géostationnaire
1) Déterminer l’altitude que l’on doit donner à un satellite pour qu’il soit en orbite
géostationnaire autour de la Terre. Préciser la nature de sa trajectoire ainsi que le
plan de son orbite. Déterminer la vitesse du satellite sur sa trajectoire.
2) Pour mettre en place un satellite géostationnaire, on le lance sur une orbite de
transfert de périgée r p = 6 600 km et d’apogée le rayon de l’orbite géostationnaire.
En déduire le demi-grand axe de cette orbite ainsi que la vitesse au périgée et à
l’apogée. Que doit-on faire pour amener le satellite de l’orbite de transfert à l’orbite
géostationnaire ?
7 Vitesse de libération ou deuxième vitesse cosmique
1) Rappeler l’expression de l’énergie effective d’un système.
2) Tracer sur un même graphe l’énergie potentielle, l’énergie effective et l’énergie
mC
2 /2r
2 .
3) Que se passe-t-il si l’énergie effective est négative ? Commenter la forme de la
trajectoire.
4) À quelle condition peut-on libérer un objet de l’attraction terrestre ?
5) Calculer la valeur de la vitesse de libération si l’on considère que l’on part d’une
orbite de transfert à 220 km d’altitude.
A.N. : R T = 6378 km, M T = 6.10
24 kg, G = 6.67.10
−11 USI.
8 Trajectoire elliptique
Soit la courbe plane d’équation polaire : r =
p
1+e cos u avec p > 0 et 0 < e < 1.
1) À l’aide de coordonnées cartésiennes, montrer que cette courbe est une ellipse dont
on calculera les demi-axes a et b en fonction du paramètre p et de l’excentricité e.
Dans la suite on supposera que le mouvement est elliptique.
2) Montrer que l’accélération radiale de ce mouvement est de la forme a r = −
K
r 2 .
On retrouvera d’abord l’expression générale de a r en fonction de r et de leurs dérivées
temporelles dans le cas d’un mouvement plan quelconque, puis on posera pour le
mouvement à force centrale r
2 ˙
u = C.
3) Exprimer le paramètre p de l’ellipse en fonction des constantes K et C.