274
Mécanique du point
EXERCICES CORRIGÉS
1 1
ère loi de Kepler (1610)
« Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un foyer ». On
définit l’unité astronomique comme étant la distance Terre-Soleil (1 U.A.=150 millions de km). La planète Mars a une trajectoire caractérisée par un demi-grand axe
a = 1, 52 U.A. et une excentricité e = 0, 093.
1) Calculer la distance Mars-Soleil au périhélie (plus petite distance) et à l’aphélie (plus
grande distance).
2) Quelle est la valeur du demi-petit axe b de la trajectoire de Mars ?
2 2
e loi de Kepler
« Les planètes parcourent sur leurs orbites des aires égales pendant des intervalles
de temps égaux ». Cette loi permet de rendre compte du ralentissement zodiacal
des astres. En effet, elle implique que la vitesse des planètes varie le long de leur
trajectoire.
1) Donner l’expression générale de la vitesse d’une planète sur sa trajectoire.
2) Démontrer que la vitesse prend une forme particulière au périhélie et à l’aphélie.
3) Calculer l’aire parcourue par une planète entre les instants t et t + dt.
4) En utilisant la 2
e loi de Kepler, montrer que le produit rv est constant au périhélie
et à l’aphélie. Déterminer le rapport de ces deux vitesses en fonction de l’excentricité e de la trajectoire. En déduire la vitesse la plus importante.
5) La comète de Halley se déplace à 56 km/s au périhélie se trouvant à 0,53 U.A. du
Soleil. Calculer sa vitesse à l’aphélie situé à 35,1 U.A. En déduire l’excentricité de sa
trajectoire.
3 3
e loi de Kepler
« Le carré de la période de révolution d’un astre est proportionnel au cube du grand
axe ».
Les caractéristiques du mouvement de quelques planètes sont reportées dans le tableau 11.3.
1) Tracer T = g(a) puis T
2 = f (a
3 ). Conclusions ?
2) En déduire a(Mercure) et T(Vénus).
Planète
a (U.A.) T (an)
e
Mercure
?
0,24
0,206
Vénus
0,72
?
0,007
Terre
1
1
0,017
Mars
1,52
1,88
0,055
Jupiter
5,2
11,86
0,093
Saturne
9,5
29,46
0,056
Tableau 10.3
Mécanique du point
EXERCICES CORRIGÉS
1 1
ère loi de Kepler (1610)
« Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un foyer ». On
définit l’unité astronomique comme étant la distance Terre-Soleil (1 U.A.=150 millions de km). La planète Mars a une trajectoire caractérisée par un demi-grand axe
a = 1, 52 U.A. et une excentricité e = 0, 093.
1) Calculer la distance Mars-Soleil au périhélie (plus petite distance) et à l’aphélie (plus
grande distance).
2) Quelle est la valeur du demi-petit axe b de la trajectoire de Mars ?
2 2
e loi de Kepler
« Les planètes parcourent sur leurs orbites des aires égales pendant des intervalles
de temps égaux ». Cette loi permet de rendre compte du ralentissement zodiacal
des astres. En effet, elle implique que la vitesse des planètes varie le long de leur
trajectoire.
1) Donner l’expression générale de la vitesse d’une planète sur sa trajectoire.
2) Démontrer que la vitesse prend une forme particulière au périhélie et à l’aphélie.
3) Calculer l’aire parcourue par une planète entre les instants t et t + dt.
4) En utilisant la 2
e loi de Kepler, montrer que le produit rv est constant au périhélie
et à l’aphélie. Déterminer le rapport de ces deux vitesses en fonction de l’excentricité e de la trajectoire. En déduire la vitesse la plus importante.
5) La comète de Halley se déplace à 56 km/s au périhélie se trouvant à 0,53 U.A. du
Soleil. Calculer sa vitesse à l’aphélie situé à 35,1 U.A. En déduire l’excentricité de sa
trajectoire.
3 3
e loi de Kepler
« Le carré de la période de révolution d’un astre est proportionnel au cube du grand
axe ».
Les caractéristiques du mouvement de quelques planètes sont reportées dans le tableau 11.3.
1) Tracer T = g(a) puis T
2 = f (a
3 ). Conclusions ?
2) En déduire a(Mercure) et T(Vénus).
Planète
a (U.A.) T (an)
e
Mercure
?
0,24
0,206
Vénus
0,72
?
0,007
Terre
1
1
0,017
Mars
1,52
1,88
0,055
Jupiter
5,2
11,86
0,093
Saturne
9,5
29,46
0,056
Tableau 10.3