270
Mécanique du point
4) Changement d’orbite : ellipse de transfert
a) Demi grand axe de l’ellipse de transfert
a =
r 1 + r 2
2
=
(6 400 + 42 100)
2
= 24 250 km.
b) L’énergie mécanique
E ellipse = −
mg o R
2
2a
= −
mg o R
2
R + r 2
= −400.9,77.
(6,4.10
6 )
2,425.10 7 = −6,6.10
9 J
c) DE(P) = E ellipse − E rasante = −mg o R
2
1
R + r 2
−
1
2R
=
1
2
mv
2
1 −
1
2
mv
2
1 > 0.
Il faut accélérer le satellite.
d) DE(A) = E géostationnaire − E ellipse = −mg o R
2
1
2r 2
−
1
R + r 2
=
1
2
mv
2
2 −
1
2
mv
2
2 > 0.
Il faut accélérer le satellite.
Trajectoire d’une particule dans un champ de forces newtonien
On considère un point matériel M de masse m soumise uniquement à un champ de
forces newtonien. Le centre de forces correspond au point O fixe dans le référentiel
galiléen choisi pour étudier le système. On a alors :
− →
F (r) = −
k
r 2
− → u avec r = OM et − → u =
−→
OM
r
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique
2) Le moment cinétique
− →
L o de M par rapport au point O est défini par la relation :
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v avec − → v le vecteur vitesse de M dans le référentiel choisi.
a) Calculer
d
− →
L o
d t
et montrer que
− →
L o est un vecteur constant.
b) En déduire que le mouvement de M s’effectue dans un plan contenant O et M
et perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o .
c) Le point M est repéré, dans le plan où s’effectue le mouvement, par ses coordonnées polaires r et u. On utilisera la base cylindrique ( − → u , − → u u , − → u z ) avec
− → u z vecteur unitaire suivant la direction du moment cinétique
− →
L o = L o
− → u z et
( − → u , − → u u ) base polaire dans le plan du mouvement.
Exprimer
−→
OM et − → v dans la base ( − → u , − → u u ) et en déduire l’expression du moment
cinétique L o en fonction de m et des coordonnées (r, u) ou de leurs dérivées.
3) Pour retrouver certaines caractéristiques des trajectoires possibles de M on introduit
le vecteur
− →
A (appelé vecteur de Runge-Lenz) :
− →
A = ( − → v ∧
− →
L o ) − k − → u
Mécanique du point
4) Changement d’orbite : ellipse de transfert
a) Demi grand axe de l’ellipse de transfert
a =
r 1 + r 2
2
=
(6 400 + 42 100)
2
= 24 250 km.
b) L’énergie mécanique
E ellipse = −
mg o R
2
2a
= −
mg o R
2
R + r 2
= −400.9,77.
(6,4.10
6 )
2,425.10 7 = −6,6.10
9 J
c) DE(P) = E ellipse − E rasante = −mg o R
2
1
R + r 2
−
1
2R
=
1
2
mv
2
1 −
1
2
mv
2
1 > 0.
Il faut accélérer le satellite.
d) DE(A) = E géostationnaire − E ellipse = −mg o R
2
1
2r 2
−
1
R + r 2
=
1
2
mv
2
2 −
1
2
mv
2
2 > 0.
Il faut accélérer le satellite.
Trajectoire d’une particule dans un champ de forces newtonien
On considère un point matériel M de masse m soumise uniquement à un champ de
forces newtonien. Le centre de forces correspond au point O fixe dans le référentiel
galiléen choisi pour étudier le système. On a alors :
− →
F (r) = −
k
r 2
− → u avec r = OM et − → u =
−→
OM
r
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique
2) Le moment cinétique
− →
L o de M par rapport au point O est défini par la relation :
− →
L o =
−→
OM ∧ m − → v avec − → v le vecteur vitesse de M dans le référentiel choisi.
a) Calculer
d
− →
L o
d t
et montrer que
− →
L o est un vecteur constant.
b) En déduire que le mouvement de M s’effectue dans un plan contenant O et M
et perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o .
c) Le point M est repéré, dans le plan où s’effectue le mouvement, par ses coordonnées polaires r et u. On utilisera la base cylindrique ( − → u , − → u u , − → u z ) avec
− → u z vecteur unitaire suivant la direction du moment cinétique
− →
L o = L o
− → u z et
( − → u , − → u u ) base polaire dans le plan du mouvement.
Exprimer
−→
OM et − → v dans la base ( − → u , − → u u ) et en déduire l’expression du moment
cinétique L o en fonction de m et des coordonnées (r, u) ou de leurs dérivées.
3) Pour retrouver certaines caractéristiques des trajectoires possibles de M on introduit
le vecteur
− →
A (appelé vecteur de Runge-Lenz) :
− →
A = ( − → v ∧
− →
L o ) − k − → u