Trajectoires d’un système à deux corps
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a) En dérivant directement cette relation vectorielle de
− →
A donner l’expression
de
d
− →
A
d t
.
En utilisant les résultats précédents, montrer que le vecteur est
− →
A est constant.
Sans faire de calcul montrer que
− →
A est dans le plan du mouvement.
On peut choisir alors de prendre le vecteur unitaire − → u x de la base cartésienne
du repère suivant ce vecteur :
− →
A = A − → u x
b) Effectuer le produit scalaire
− →
A .
−→
OM en remplaçant les vecteurs
− →
A et
−→
OM par
leur expression dans la base ( − → u , − → u u ) et montrer la relation :
− →
A .
−→
OM =
L
2
o
m
− kr
c) Quelle est l’autre expression possible du produit scalaire
− →
A .
−→
OM faisant apparaître l’angle u que font entre eux ces deux vecteurs.
d) En déduire que r peut se mettre sous la forme :
r =
p
1 + e cos u
La trajectoire de M est une conique de paramètre p et d’excentricité e.
Donner l’expression du paramètre p et de l’excentricité e en fonction de L o , m,
k et A.
4) Relation entre énergie et excentricité
a) L’énergie potentielle dont dérive la force
− →
F (r) a pour expression E p = −
k
r
.
Donner l’expression de l’énergie mécanique totale E en fonction de m, v, k et r.
b) Exprimer A
2 =
− →
A .
− →
A et montrer que :
A
2 = k
2
1 +
v
2 L
2
o
k 2 −
2L
2
o
mkr
c) Exprimer A
2 en fonction de l’énergie E. En déduire une expression de l’excentricité e en fonction de l’énergie E et montrer qu’on retrouve la classification des
coniques obtenues en fonction du signe de l’énergie :
• e > 1 ⇔ E > 0 : hyperbole
• e = 1 ⇔ E = 0 : parabole
• e < 1 ⇔ E < 0 : ellipse
Solution
− →
F (r) = −
k
r 2
− → u avec r = OM et − → u =
−→
OM
r
1) Relation fondamentale de la dynamique :
− →
F (r) = −
k
r 2
− → u = m − → a = m
d − → v
d t
= m
d
2 −→
OM
d t 2