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Mécanique du point
Solution
I. Satellite sur Terre
1) Mouvement circulaire uniforme de rayon r = R cos l et vitesse angulaire v o =
2p
T o
.
2) v o = rv o = Rv o cos l
E Co =
1
2
mv
2
o =
2mp
2 R
2 cos
2 l
T 2
o
3) Énergie mécanique totale E o = E Po + E Co = −G
Mm
R
+
2mp
2 R
2 cos
2 l
T 2
o
A.N. : v o =
2p.6, 4.10
6
8,6164.10 4 cos 40
◦ = 3,57.10
2 m.s
−1 ;
E Co = 0,5.800.(3,57.10
2 )
2 = 5,112.10
7 J
E o . = 5,112.10
7
− 6,67.10
−11 6.10
24 .8.10
2
6,4.10 6
= 5,112.10
7
− 5.10
10
≈ −5.10
10 J
II. Satellite sur orbite circulaire
1) Étude générale
a) Système satellite de masse m, Référentiel géocentrique galiléen, force
− →
F (r) = −G
Mm
r 2
− → u
Principe fondamental de la dynamique :
m − → a = −G
Mm
r 2
− → u ⇒ − → a = −G
M
r 2
− → u
En coordonnée cylindrique
− → a = −
v
2
r
− → u ⇒
v
2
r
= −G
M
r 2 ⇒ v =
G
M
r
Avec g o = G
M
R 2 ⇒ GM = g o R
2 et on obtient donc : v =
g o R 2
r
b) T =
2pr
v
=
2pr
g o R 2
√
r = 2p
r 3
g o R 2
c) E C =
1
2
mv
2 =
1
2
m
g o R
2
r
E P = −G
Mm
r
et donc E = E C + E P = −
mg o R
2
2r
2) Orbite circulaire rasante
a) v 1 =
g o R 2
R
=
g o R (1
ère vitesse cosmique)
b) T 1 = 2p
R 3
g o R 2 = 2p
R
g o
E 1 = −
mg o R
2
2R
= −
mg o R
2