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Mécanique du point
I. Satellite sur Terre
ωo
R
l
Figure 10.10
1) Un satellite considéré ponctuelle de masse m est au repos
sur la Terre en un point de latitude l. Quel est son mouvement dans le référentiel galiléen géocentrique ?
2) Exprimer sa vitesse v o et son énergie cinétique E Co , dans
le référentiel géocentrique, en fonction de m, R, T o et l.
3) En déduire l’expression de l’énergie mécanique totale E o .
A.N. : m = 800 kg et latitude l = 40
◦ . Calculer les valeurs
de v o , E Co et E o .
II. Satellite sur orbite circulaire
Le satellite est maintenant sur une orbite circulaire autour
de la Terre.
1) Étude générale
a) Faire l’étude du satellite dans le référentiel géocentrique et déterminer, en utilisant le principe fondamental de la dynamique, la relation entre le rayon r de
l’orbite et la vitesse v du satellite. Montrer que cette relation peut s’écrire :
v =
g o R 2
r
avec g o = G(R) champ de gravitation à la surface de la Terre.
b) Déduire l’expression de la période T de révolution en fonction du rayon r, g o
et R.
c) Exprimer l’énergie cinétique E C et l’énergie potentielle E P . En déduire l’expression de l’énergie totale E en fonction de m, r, g o et R.
2) Orbite circulaire rasante
Le satellite est d’abord envoyé sur une orbite basse de rayon r 1 . L’altitude z 1 , de l’ordre
de quelques centaines de kilomètres, est très faible devant le rayon R de la Terre. On
peut donc considérer r 1 ≈ R (orbite rasante)
a) Donner l’expression de sa vitesse v 1 (1
ère vitesse cosmique) en fonction de g o
et R
b) Donner l’expression de la période T 1 et de l’énergie mécanique totale E 1 .
c) Calculer g o , v 1 , T 1 et E 1 .
d) Exprimer l’énergie DE = E 1 − E o qu’il a fallu fournir au satellite, initialement
au repos sur la Terre à la latitude l, pour le mettre sur l’orbite rasante. Cette
énergie dépend-elle du point de lancement sur terre ?
Où sont situées les bases de lancement les plus favorables du point de vue énergétique ? Connaissez-vous le nom de l’une de ces bases ?
e) Il est habituel de dire que les astronautes et les objets situés à l’intérieur d’un
satellite sont « en état d’apesanteur ». Que signifie cette expression ?
On considère le référentiel R’ défini par le repère dont l’origine est au centre
d’inertie P du satellite et dont les axes restent parallèles à ceux du référentiel
géocentrique galiléen R.
Quel est le mouvement de R’ par rapport à R ? Le référentiel R’ est-il galiléen ?
Faire l’étude mécanique, dans R’, d’une masse m’ placée au centre d’inertie P du
satellite et montrer alors que cette masse est en parfait état d’apesanteur.
Mécanique du point
I. Satellite sur Terre
ωo
R
l
Figure 10.10
1) Un satellite considéré ponctuelle de masse m est au repos
sur la Terre en un point de latitude l. Quel est son mouvement dans le référentiel galiléen géocentrique ?
2) Exprimer sa vitesse v o et son énergie cinétique E Co , dans
le référentiel géocentrique, en fonction de m, R, T o et l.
3) En déduire l’expression de l’énergie mécanique totale E o .
A.N. : m = 800 kg et latitude l = 40
◦ . Calculer les valeurs
de v o , E Co et E o .
II. Satellite sur orbite circulaire
Le satellite est maintenant sur une orbite circulaire autour
de la Terre.
1) Étude générale
a) Faire l’étude du satellite dans le référentiel géocentrique et déterminer, en utilisant le principe fondamental de la dynamique, la relation entre le rayon r de
l’orbite et la vitesse v du satellite. Montrer que cette relation peut s’écrire :
v =
g o R 2
r
avec g o = G(R) champ de gravitation à la surface de la Terre.
b) Déduire l’expression de la période T de révolution en fonction du rayon r, g o
et R.
c) Exprimer l’énergie cinétique E C et l’énergie potentielle E P . En déduire l’expression de l’énergie totale E en fonction de m, r, g o et R.
2) Orbite circulaire rasante
Le satellite est d’abord envoyé sur une orbite basse de rayon r 1 . L’altitude z 1 , de l’ordre
de quelques centaines de kilomètres, est très faible devant le rayon R de la Terre. On
peut donc considérer r 1 ≈ R (orbite rasante)
a) Donner l’expression de sa vitesse v 1 (1
ère vitesse cosmique) en fonction de g o
et R
b) Donner l’expression de la période T 1 et de l’énergie mécanique totale E 1 .
c) Calculer g o , v 1 , T 1 et E 1 .
d) Exprimer l’énergie DE = E 1 − E o qu’il a fallu fournir au satellite, initialement
au repos sur la Terre à la latitude l, pour le mettre sur l’orbite rasante. Cette
énergie dépend-elle du point de lancement sur terre ?
Où sont situées les bases de lancement les plus favorables du point de vue énergétique ? Connaissez-vous le nom de l’une de ces bases ?
e) Il est habituel de dire que les astronautes et les objets situés à l’intérieur d’un
satellite sont « en état d’apesanteur ». Que signifie cette expression ?
On considère le référentiel R’ défini par le repère dont l’origine est au centre
d’inertie P du satellite et dont les axes restent parallèles à ceux du référentiel
géocentrique galiléen R.
Quel est le mouvement de R’ par rapport à R ? Le référentiel R’ est-il galiléen ?
Faire l’étude mécanique, dans R’, d’une masse m’ placée au centre d’inertie P du
satellite et montrer alors que cette masse est en parfait état d’apesanteur.