Trajectoires d’un système à deux corps
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À RETENIR
➤ Binet a montré que le changement de variable u =
1
r
combiné à la constante des aires
C = ˙
ur
2 permet d’obtenir l’équation différentielle de la masse fictive m suivante :
d
2 u
du
+ u =
K
C 2
Cette équation admet la solution :
u =
1
r
= A cos(u − f) +
Gm 1 m 2
mC 2
qui se simplifie en r =
p
1 + e cos u
➤ Selon la valeur de e excentricité de la trajectoire il convient de distinguer les trajectoires suivantes :
• e = 0, la trajectoire circulaire de rayon r = p ;
• 0 < e < 1, la trajectoire est elliptique, le système est lié ;
• e = 1, la trajectoire est parabolique ;
• e > 1, la trajectoire est confinée à une branche d’hyperbole.
➤ L’énergie du système des deux masses est donnée par
E = −
Gm 1 m 2
2p
(1 − e
2 )
➤ L’excentricité e = 1 marque la transition entre les trajectoires elliptiques ou circulaires
du système lié (E < 0) à celle hyperbolique du système diffusif (E > 0).
➤ Les trajectoires elliptiques sont gouvernées par les lois de Kepler. La trajectoire est
périodique de période
T
2 =
4p
2 a
3
G(m 1 + m 2 )
a représentant le demi-grand axe de la trajectoire elliptique (troisième loi de Kepler).
EXERCICES D’APPLICATION AVEC SOLUTION DÉTAILLÉE
Satellite dans le champ de gravitation terrestre
Données numériques :
• Masse de la Terre M = 6.10
24 kg
• Rayon de la Terre R = 6 400 km
• Constante de gravitation universelle G = 6, 67.10
−11 N.m
2 .kg
−2
• Période de rotation de la Terre (dans le référentiel géocentrique) T o = 86 164 s