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Mécanique du point
6.2. Lois de Kepler
a) Rappel de leur énoncé
Ces lois ont été énoncées par Kepler en 1604. Elles sont relatives aux planètes du système
solaire dont elles décrivent le mouvement. Établies expérimentalement par Kepler (voir
chapitre 9), elles ont permis à Newton d’étayer sa théorie de la gravitation.
Loi n
◦ 1. Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est l’un
des foyers.
Loi n
◦ 2. Au cours de leur mouvement, les planètes balayent des aires égales pendant des temps
égaux (loi des aires).
Loi n
◦ 3. Le carré de la période de révolution des planètes est proportionnel au cube du grand axe
de l’ellipse.
b) Relation avec la mécanique de Newton
La première loi montre que les planètes du système solaire sont des systèmes à énergie
négative, ce qui est la condition sine qua non d’observation d’une trajectoire elliptique.
La seconde loi est la loi des aires sur laquelle nous revenons maintenant. Nous avons
démontré que le moment cinétique se conserve dans tout mouvement à force centrale.
La conservation du moment cinétique permet d’affirmer que la quantité r
2 ˙
u = C =
L
m
est constante. Nous avons montré que cette quantité est le double de l’aire balayée par le
point M au cours de son mouvement orbital. On a donc :
dA
dt
=
C
2
⇒ A =
1
2
Ct
On considère qu’à l’instant t = 0 le point M n’a pas encore balayé d’aire. Pendant une
période de révolution, l’aire balayée correspond à l’aire de l’ellipse. On a donc :
A =
1
2
CT ⇒ T =
2A
C
=
2pab
C
On peut en conclure que le carré de la période de révolution est donné par :
T
2 =
4p
2 a
2 b
2
C 2
ce qui, compte tenu du fait que (voir équations (10.5), (10.6), (10.7)) :
b
2 = a
2 (1 − e
2 ) ;
(1 − e
2 ) =
p
a
;
C
2 = pG(m 1 + m 2 )
conduit à :
T
2 =
4p
2 a
3
G(m 1 + m 2 )
Cette dernière relation est conforme à la détermination expérimentale de Kepler et
montre en outre que la mesure de la période d’un satellite permet de déterminer avec
précision la masse d’une planète.