Trajectoires d’un système à deux corps
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c) Détermination de b (demi-petit axe)
Pour déterminer le petit axe nous utilisons la propriété des foyers en positionnant le point
M au point H du petit axe (figure 10.8) :
FH + F
H = 2FH = 2a =⇒ F
H = FH = a
Dans cette configuration, l’application du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle FH conduit à :
FH
2 = FV
2 + VH
2 = c
2 + b
2 = a
2 e
2 + b
2
On peut donc conclure que le petit axe de l’ellipse est donné par :
b
2 = a
2 (1 − e
2 )
(10.7)
d) Énergie du système
L’énergie du système est constante et égale à :
E = −
Gm 1 m 2
2p
(1 − e
2 )
En utilisant le résultat obtenu pour le demi-grand axe de l’ellipse (voir le résultat obtenu
en 10.6), il vient :
E = −
Gm 1 m 2
2a
Nous pouvons donc conclure que l’énergie ne dépend que du grand axe de l’ellipse. Il
importe de remarquer que des trajectoires elliptiques différentes peuvent avoir même
énergie, c’est-à-dire même grand axe.
X
Y
Ω
a
Figure 10.9 • Différentes trajectoires pour une même énergie E donnée.
La différence entre ces deux trajectoires de même énergie est liée aux conditions initiales
du mouvement qui définissent la valeur de la constante des aires C et donc du paramètre
p de l’ellipse, qui rappelons-le (voir équation 10.5) est égal à :
p =
C
2
Gm 1 m 2