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Mécanique du point
θ
H
P
M
b
c
r
A
F’
Ω
Y
X
F ´ O
a
u
Figure 10.8 • Caractéristiques d’une ellipse.
F et F
étant les deux foyers de l’ellipse et V le milieu de FF
(voir figure 10.8), on pose :
• AV = VP = a, le demi-grand axe ;
• VH = b, le demi-petit axe ;
• VF = VF
= c.
La position d’un point M de la trajectoire vérifie toujours la relation :
FM + F
M = cste
Il est facile de voir que lorsque M est en P ou en A, la distance FM + F
M est égale à :
FA + F
A = FA + FP = 2a = FM + F
M
a) Détermination de a (demi-grand axe)
Le grand axe de l’ellipse est égal à la distance qui sépare l’apogée A du périgée P. Il vérifie
la relation PF = 2a. La position des points P et A s’obtient à partir de l’équation polaire
de la trajectoire. On a :
FP =
p
1 + e
et FA =
p
1 − e
Il en résulte que :
a =
p
1 − e 2
(10.6)
b) Détermination de l’excentricité
Il est facile de voir sur la figure 10.8 que c = VF = AF − VA, soit
c =
p
1 − e
− a =
p(1 + e)
1 − e 2 − a = a(1 + e) − a.
On a donc
c = ae
On peut remarquer que pour e = 0, on obtient c = 0. Les point F et F
sont alors confondus et la trajectoire est un cercle.