Trajectoires d’un système à deux corps
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En reprenant la valeur de la masse réduite et en reportant celle-ci dans l’équation donnant
l’énergie, il vient :
E =
Gm 1 m 2
p
(1 + e)
1 + e
2
− 1
= −
Gm 1 m 2
2p
1 − e
2
L’énergie du système est donc égale à :
E = −
Gm 1 m 2
2p
(1 − e
2 )
Il est intéressant de constater que l’énergie mécanique passe par 0 lorsque l’excentricité
de la trajectoire est égale à 1 (trajectoire ouverte parabolique) et que, si e > 1 (trajectoire
ouverte hyperbolique), l’énergie est positive, ce qui correspond bien à un état de diffusion.
Lorsque que e < 1 on trouve bien que l’énergie est négative, ce qui correspond à l’état lié
(trajectoire fermée elliptique ou circulaire).
6. TRAJECTOIRES ELLIPTIQUES : LOIS DE KEPLER
6.1. Caractéristiques des trajectoires elliptiques
Les trajectoires de forme elliptique sont extrêmement importantes dans la pratique. Elles
correspondent au mouvement des planètes du système solaire ainsi qu’aux trajectoires
des satellites artificiels. Rappelons que, dans de tels cas, l’excentricité de la trajectoire est
inférieure à 1 et que l’énergie mécanique est négative. La trajectoire elliptique correspond
donc à un état lié et le point M (dans ce cas, confondu avec le centre d’inertie M 2 de la
planète) se déplace, par rapport à M 1 (qui se confond avec le centre d’inertie du système)
entre une position minimale, le périgée, et une position maximale, l’apogée. Nous allons
voir dans ce paragraphe comment cerner toutes les caractéristiques de cette trajectoire.
Nous avons déjà établi que l’équation polaire de la trajectoire est :
r =
p
1 + e cos u
avec (voir 10.3 et 10.4)
p =
mC
2
Gm 1 m 2
=
C
2
G(m 1 + m 2 )
; e =
A
Gm1m2
mC 2
= Ap
(10.5)
En outre l’énergie est donnée par :
E = −
Gm 1 m 2
2p
(1 − e
2 )
Nous cherchons à déterminer les caractéristiques de la trajectoire en fonction des propriétés du système, c’est à dire son énergie E, la constante des aires C et en fonction des
masses m 1 et m 2 . Une trajectoire elliptique est caractérisée par trois paramètres pertinents
qui sont le grand axe 2a, le petit axe 2b et l’excentricité e. Il importe de savoir qu’une
ellipse possède deux foyers F et F
. L’un des foyers F est ici confondu avec le centre de
force O.
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En reprenant la valeur de la masse réduite et en reportant celle-ci dans l’équation donnant
l’énergie, il vient :
E =
Gm 1 m 2
p
(1 + e)
1 + e
2
− 1
= −
Gm 1 m 2
2p
1 − e
2
L’énergie du système est donc égale à :
E = −
Gm 1 m 2
2p
(1 − e
2 )
Il est intéressant de constater que l’énergie mécanique passe par 0 lorsque l’excentricité
de la trajectoire est égale à 1 (trajectoire ouverte parabolique) et que, si e > 1 (trajectoire
ouverte hyperbolique), l’énergie est positive, ce qui correspond bien à un état de diffusion.
Lorsque que e < 1 on trouve bien que l’énergie est négative, ce qui correspond à l’état lié
(trajectoire fermée elliptique ou circulaire).
6. TRAJECTOIRES ELLIPTIQUES : LOIS DE KEPLER
6.1. Caractéristiques des trajectoires elliptiques
Les trajectoires de forme elliptique sont extrêmement importantes dans la pratique. Elles
correspondent au mouvement des planètes du système solaire ainsi qu’aux trajectoires
des satellites artificiels. Rappelons que, dans de tels cas, l’excentricité de la trajectoire est
inférieure à 1 et que l’énergie mécanique est négative. La trajectoire elliptique correspond
donc à un état lié et le point M (dans ce cas, confondu avec le centre d’inertie M 2 de la
planète) se déplace, par rapport à M 1 (qui se confond avec le centre d’inertie du système)
entre une position minimale, le périgée, et une position maximale, l’apogée. Nous allons
voir dans ce paragraphe comment cerner toutes les caractéristiques de cette trajectoire.
Nous avons déjà établi que l’équation polaire de la trajectoire est :
r =
p
1 + e cos u
avec (voir 10.3 et 10.4)
p =
mC
2
Gm 1 m 2
=
C
2
G(m 1 + m 2 )
; e =
A
Gm1m2
mC 2
= Ap
(10.5)
En outre l’énergie est donnée par :
E = −
Gm 1 m 2
2p
(1 − e
2 )
Nous cherchons à déterminer les caractéristiques de la trajectoire en fonction des propriétés du système, c’est à dire son énergie E, la constante des aires C et en fonction des
masses m 1 et m 2 . Une trajectoire elliptique est caractérisée par trois paramètres pertinents
qui sont le grand axe 2a, le petit axe 2b et l’excentricité e. Il importe de savoir qu’une
ellipse possède deux foyers F et F
. L’un des foyers F est ici confondu avec le centre de
force O.