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Mécanique du point
On passe subitement d’une branche à une autre pour des valeurs critiques u m de u qui
annulent le dénominateur du rayon vecteur. Ces valeurs sont données par :
r > 0 =⇒ 1 + e cos u > 0 =⇒ cos u > cos u m = −
1
e
=⇒ −u m < u < u m
Il importe de remarquer que, physiquement, la trajectoire du point M est confinée à une
seule branche de l’hyperbole et que la nature de la branche est déterminée par les conditions initiales du mouvement. Le tableau 10.2 donne l’évolution de la valeur de r en fonction de l’angle u.
u -u m -p/2
0
p/2 u m
r
∞
p
p/(1 + e)
p
∞
Tableau 10.2 • Évolution de r en fonction de l’angle u.
θ m
y
x
Asymptote
F
M
r
θ
Figure 10.7 • Trajectoire hyperbolique d’excentricité e > 1.
5. ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE
Il est intéressant de revenir maintenant sur l’énergie du système. Nous avons que l’énergie
mécanique est constante et qu’elle s’écrit :
E =
1
2
m
˙ r
2 + r
2 ˙
u
2
−
Gm 1 m 2
r
E =
1
2
m˙ r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 −
Gm 1 m 2
r
La détermination de la valeur de l’énergie mécanique, en fonction notamment de l’excentricité de la trajectoire, peut se faire au périgée P. En effet, à cette position, r passe
par un minimum égal à r = p/ (1 + e) et la quantité dr/dt est alors nulle. L’expression de
l’énergie est alors donnée par :
E =
1
2
m
C
2
r 2 − G
m 1 m 2
r
=
1
2
m
C
2
p 2 (1 + e)
2
−
Gm 1 m 2 (1 + e)
p
avec C
2 = pG(m 1 + m 2 )