Trajectoires d’un système à deux corps
259
La distance qui sépare le périgée P de l’apogée A est égale au grand axe de l’ellipse, ce qui
conduit à l’expression suivante du demi-grand axe a :
a =
p
1 − e 2
On notera que si la masse m 1 est très supérieure à la masse m 2 alors le point M 1 est
confondu avec G.et correspond au foyer F. Le point M 2 se confond alors avec M. Cette
situation est celle du Soleil (M 1 ) et de la Terre (M 2 ) par exemple.
4.3. Excentricité unitaire e = 1
Lorsque l’excentricité de la trajectoire est égale à 1, on passe par une trajectoire de transition. Cette trajectoire diffère de la précédente principalement pour un angle u tendant
vers p. Pour cette valeur de l’angle u, le rayon vecteur r tend vers l’infini et la trajectoire
ne se referme plus sur elle même. Le périgée du mouvement est obtenu pour u = 0 et correspond à r = p/2. L’équation de la trajectoire peut s’écrire en coordonnées cartésiennes.
On aura :
r(1 + cos u) = p =⇒
√
X 2 + Y 2 = p − X =⇒ Y
2 = p
2
− 2pX
On obtient donc :
X = −
Y
2
2p
+
p
2
La trajectoire observée est alors une parabole d’axe FX. Pour u = p/2 (x = 0), on a Y = p.
On verra par la suite qu’elle correspond à une énergie nulle caractéristique du passage de
l’état de diffusion à l’état lié.
F ´ O
P
r
u
M
X
Y
Figure 10.6 • Trajectoire parabolique d’excentricité e = 1.
4.4. Excentricité e > 1
Lorsque l’excentricité de la trajectoire est supérieure à 1, la trajectoire se démarque de
la trajectoire parabolique. On reste dans un état de diffusion c’est-à-dire qu’il existe des
valeurs de u pour lesquelles le point M s’éloigne à l’infini du centre de force O (confondu
avec F). La trajectoire est alors une branche d’hyperbole.