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Mécanique du point
La figure 10.1 résume l’équivalence utilisée.
M 1
M 2
G
( *
R )
x
y
z
r 2
r 1
2
F
*
L
2
F
F
=
r
μ
M
y
z
O
x
*
L
2
1 M
M
OM
r
=
=
v
Figure 10.1 • Système à deux corps équivalent à un système à un corps
de masse m soumis à une force centrale.
L’étude du mouvement du point M peut être réalisée dans le référentiel galiléen en utilisant la base des coordonnées cylindriques
− → u r , − → u u , − → u z
. Dans cette base les composantes
de la vitesse et de l’accélération du point M s’écrivent :
− → v =
⎧
⎨
⎩
˙ r
r ˙
u
0
− → a =
⎧
⎨
⎩
¨ r − r ˙
u
2
2˙ r ˙
u + r ¨
u
0
(10.1)
θ
x
y
z
cste
L =
r
u
θ
u
F
m
O
M
r
Figure 10.2 • Étude du mouvement de la masse réduite m dans le référentiel
galiléen (O, x, y, z, t)
2. ÉQUATION POLAIRE DE LA TRAJECTOIRE : FORMULE DE BINET.
L’équation horaire de la trajectoire est classiquement obtenue par intégration de la relation fondamentale de la dynamique. Cette équation s’écrit dans la base tournante :
m
¨ r − r ˙
u
2
− → u r +
2˙ r ˙
u + r ¨
u
− → u u
= −G
m 1 m 2
r 2
− → u r
On obtient les deux équations différentielles suivantes :
m
¨ r − r ˙
u
2
= −G
m 1 m 2
r 2 ; 2˙ r ˙
u + r ¨
u = 0