CHAPITRE 10
TRAJECTOIRES D’UN SYSTÈME
À DEUX CORPS
Pré-requis
• Connaître les notions de référentiel barycentrique, de réduction du système à deux corps à un objet unique de masse réduite m ainsi que tous
les aspects cinématique et énergétique du système à deux corps.
Objectif
I Établir à partir des principes fondamentaux de la mécanique les trajectoires d’un système à deux corps ;
I Savoir démontrer la formule de Binet et résoudre l’équation différentielle du mouvement ;
I Apprendre à reconnaître une trajectoire en fonction de son excentricité ;
I Établir les trois lois de Képler.
1. RAPPELS
Nous cherchons dans ce chapitre à déterminer l’équation de la trajectoire d’un système
constitué par deux corps en interaction. Nous avons vu dans le chapitre précédent que
les conditions initiales du mouvement conditionnent la nature de ce dernier. Le système
a une énergie mécanique qui dépend de ces conditions initiales et évolue soit entre deux
limites pour un état lié, soit entre une position minimale d’approche et l’infini pour un
état de diffusion.
Nous avons vu également qu’un système à deux corps (masse m 1 de centre d’inertie
M 1 et masse m 2 de centre d’inertie M 2 ) peut être formellement réduit à un système à
un corps dont la position M par rapport à une origine O d’un référentiel galiléen est
− → r =
−→
OM =
−−−→
M 1 M 2 et qui est affecté de la masse réduite m =
m1m2
m1+m2
. Ce corps subit la force
de gravitation
− →
F =
− →
F 2 . Les équations de son mouvement sont les suivantes :
r
2 ˙
u = C =
L
m
E =
1
2
m˙ r
2 + E Peff =
1
2
m˙ r
2 + m
C
2
2r 2 − G
m1m2
r
− →
F =
− →
F 2 = −
− →
F 1 = m
d
2− → r
dt 2 = m
d −
→ v
dt