Trajectoires d’un système à deux corps
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La deuxième équation traduit le fait que le moment cinétique est constant. En effet, cette
équation peut s’écrire :
d
r
2 ˙
u
dt
= 0 =⇒ r
2 ˙
u = C
On retrouve donc la relation des aires déjà connue. Le système d’équations devient :
m
¨ r − r ˙
u
2
= −G
m1m2
r 2 = −
K
r 2
r
2 ˙
u = C
avec K = G
m1m2
m .
L’intégration de cette relation ne peut pas être réalisée à ce stade car deux des variables
sont couplées par l’intermédiaire de la relation des aires. La relation peut être utilisée
pour éliminer la variable temps et obtenir ainsi l’équation de la trajectoire r = r(u). Pour
cela, il convient d’introduire, comme l’a montré Binet, le changement de variable suivant :
u =
1
r
=⇒ ˙
u =
du
dt
=
C
r 2 = Cu
2
où u est considéré comme une fonction de r avec r fonction de u. Nous allons maintenant
rechercher la relation u = u(u). Pour faire apparaître u dans la première équation, nous
sommes amenés à exprimer ¨ r et ˙
u en fonction de cette variable. Nous avons :
˙
u = Cu
2 =⇒ ˙
u
2 = C
2 u
4 =⇒ r ˙
u
2 = C
2 u
3
−G
m 1 m 2
r 2 = −Gm 1 m 2 u
2
˙ r =
dr
dt
=
dr
du
du
dt
=
dr
du
du
du
du
dt
=⇒ ˙ r = −C
du
du
¨ r =
d˙ r
dt
= −C
d (du/du)
dt
= −C
d
2 u
du 2
˙
u = −Cu
2 d
2 u
du
En reportant ces expressions dans la première équation différentielle du système, on obtient :
¨ r − r ˙
u
2 = −
K
r 2 =⇒ −C
2 u
2 d
2 u
du
− C
2 u
3 = −Ku
2
Avec u différent de 0, l’équation différentielle devient :
d
2 u
du
+ u =
K
C 2
L’expression obtenue est qualifiée de formule de Binet.