Systèmes à deux corps
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Solution
I. Force de gravitation et moment cinétique
O
S
)
(r
F
u
m
M T
OS = r
Figure 9.14
1)
− →
F (r) = −G
M T m
r 2
− → u .
2) Moment cinétique :
a)
− →
L o =
− →
OS ∧ m − → v
b)
d
− →
L o
d t
=
d
− →
OS
d t
∧ m − → v +
− →
OS ∧
d(m − → v )
d t
= − → v ∧ m − → v +
− →
OS ∧ m − → a =
− →
0 +
− →
OS ∧ m − → a
En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse m étudiée
dans le référentiel géocentrique galiléen et sachant que l’unique force est
− →
F (r),
on obtient : m − → a =
− →
F (r) et donc :
d
− →
L o
d t
=
− →
M o (
− →
F ) =
− →
OS ∧
− →
F (théorème du
moment cinétique).
c)
− →
M o (
− →
F ) est le moment de
− →
F (r) par rapport au point O. Dans le cas présent,
la force a la même direction que le vecteur
− →
OS et donc le moment est nul
(
− →
M o (
− →
F ) =
− →
0 )
d)
d
− →
L o
d t
=
− →
0 ⇒
− →
L o =
− →
OS ∧ m − → v =vecteur constant. À tout instant,
− →
OS et − → v
sont des vecteurs perpendiculaires à un vecteur constant
− →
L o . Donc O, S et − → v
reste dans un même plan (contenant le centre des forces O et perpendiculaire
au moment cinétique
− →
L o ).
− →
L o est constant au cours du temps et le mouvement
du satellite s’effectue donc dans un plan contenant le centre des forces O et
perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o .
II. Étude du mouvement du satellite
Le satellite est sur une orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude h.
1) Référentiel géocentrique : origine le centre de la Terre et trois directions restant
fixes par rapport au référentiel de Copernic. Le référentiel géocentrique (R) est donc
en translation circulaire uniforme par rapport au référentiel galiléen de Copernic et
n’est donc pas rigoureusement galiléen. Cependant, pour l’étude du mouvement du
satellite il peut être considéré comme galiléen.
2) Montrer par les 3 différentes méthodes suivantes que le mouvement est uniforme :
a) dW =
− →
F (r). d
− →
l . Sur l’orbite circulaire, la force de gravitation
− →
F (r) = −G
M T m
r 2
− → u
est normale à la trajectoire alors que le déplacement élémentaire d
− →
l = dl. − → u u
est tangent à la trajectoire. On a donc : dW =
− →
F (r). d
− →
l = 0
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les instant t et t + dt
on a :
dW = d E c = 0. L’énergie cinétique ne varie pas donc la valeur de la vitesse est
constante et le mouvement est uniforme.
b)
− →
L o =
− →
OS ∧ m − → v . Sur une orbite circulaire de rayon r = OS = constante,
− →
OS
(normale à la trajectoire) et − → v (tangent à la trajectoire) sont 2 vecteurs orthogonaux. On obtient donc :
− →
L o
= OS.mv = mrv. Le moment cinétique L o est
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Solution
I. Force de gravitation et moment cinétique
O
S
)
(r
F
u
m
M T
OS = r
Figure 9.14
1)
− →
F (r) = −G
M T m
r 2
− → u .
2) Moment cinétique :
a)
− →
L o =
− →
OS ∧ m − → v
b)
d
− →
L o
d t
=
d
− →
OS
d t
∧ m − → v +
− →
OS ∧
d(m − → v )
d t
= − → v ∧ m − → v +
− →
OS ∧ m − → a =
− →
0 +
− →
OS ∧ m − → a
En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse m étudiée
dans le référentiel géocentrique galiléen et sachant que l’unique force est
− →
F (r),
on obtient : m − → a =
− →
F (r) et donc :
d
− →
L o
d t
=
− →
M o (
− →
F ) =
− →
OS ∧
− →
F (théorème du
moment cinétique).
c)
− →
M o (
− →
F ) est le moment de
− →
F (r) par rapport au point O. Dans le cas présent,
la force a la même direction que le vecteur
− →
OS et donc le moment est nul
(
− →
M o (
− →
F ) =
− →
0 )
d)
d
− →
L o
d t
=
− →
0 ⇒
− →
L o =
− →
OS ∧ m − → v =vecteur constant. À tout instant,
− →
OS et − → v
sont des vecteurs perpendiculaires à un vecteur constant
− →
L o . Donc O, S et − → v
reste dans un même plan (contenant le centre des forces O et perpendiculaire
au moment cinétique
− →
L o ).
− →
L o est constant au cours du temps et le mouvement
du satellite s’effectue donc dans un plan contenant le centre des forces O et
perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o .
II. Étude du mouvement du satellite
Le satellite est sur une orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude h.
1) Référentiel géocentrique : origine le centre de la Terre et trois directions restant
fixes par rapport au référentiel de Copernic. Le référentiel géocentrique (R) est donc
en translation circulaire uniforme par rapport au référentiel galiléen de Copernic et
n’est donc pas rigoureusement galiléen. Cependant, pour l’étude du mouvement du
satellite il peut être considéré comme galiléen.
2) Montrer par les 3 différentes méthodes suivantes que le mouvement est uniforme :
a) dW =
− →
F (r). d
− →
l . Sur l’orbite circulaire, la force de gravitation
− →
F (r) = −G
M T m
r 2
− → u
est normale à la trajectoire alors que le déplacement élémentaire d
− →
l = dl. − → u u
est tangent à la trajectoire. On a donc : dW =
− →
F (r). d
− →
l = 0
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre les instant t et t + dt
on a :
dW = d E c = 0. L’énergie cinétique ne varie pas donc la valeur de la vitesse est
constante et le mouvement est uniforme.
b)
− →
L o =
− →
OS ∧ m − → v . Sur une orbite circulaire de rayon r = OS = constante,
− →
OS
(normale à la trajectoire) et − → v (tangent à la trajectoire) sont 2 vecteurs orthogonaux. On obtient donc :
− →
L o
= OS.mv = mrv. Le moment cinétique L o est