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Mécanique du point
une grandeur constante au cours du mouvement donc mrv = constante soit v =
constante et le mouvement est uniforme.
c) Le vecteur accélération, dans le cas d’un mouvement circulaire, a pour expression :
− → a = −r ˙
u
2− → u + r ¨
u − → u u ;
En appliquant le principe fondamental de la dynamique on obtient :
− →
F (r) = −G
M T m
r 2
− → u = m − → a = −mr ˙
u
2− → u + mr ¨
u − → u u .
La composante tangentielle de l’accélération (suivant − → u u ) est donc nulle. Cela
implique que l’accélération angulaire ¨
u est nulle et que la vitesse angulaire
˙
u = v est constante. Le mouvement est uniforme.
On a : − → v = r ˙
u − → u u c’est-à-dire v = r ˙
u = rv. Le rayon r et la vitesse angulaire
˙
u = v étant constant, v est constant.
3) d’après la réponse précédente, on a :
− →
F (r) = −G
M T m
r 2
− → u = −mr ˙
u
2− → u = −
mv
2
r
− → u .
On en tire la relation : G
M T m
r 2 =
mv
2
r
⇒ v
2 = G
M T
r
⇒ v =
G
M T
r
=
G
M T
R T + h
4) Le satellite S.P.O.T. évolue à l’altitude h = 832 km. Sa période de révolution T est
donnée par le temps mis pour faire un tour c’est-à-dire : T =
2pr
v
. En élevant au carré
on obtient : T
2 = 4p
2 r
2
v 2 = 4p
2 r
3
GM T
⇒ T = 2p
(R T + h) 3
GM T
T = 2p
(6 400 + 832) 3 10 9
6,67.10 −11 .6.10 24 =6 108,42 s = 101,81 minutes = 1 h 41’ 48”.
Le satellite n’est pas géostationnaire. En effet, un satellite géostationnaire reste fixe
par rapport à la Terre. Il tourne donc avec la même vitesse angulaire que la Terre dans
le référentiel géocentrique et à la même période T o . = 86164 s.
5) On a : T
2 = 4p
2 r
2
v 2 = 4p
2 r
3
GM T
⇒ T
2 =
4p
2
GM T
r
3 . L’expression littérale de la
constante de proportionnalité est donc :
T
2
r 3 =
4p
2
GM T
6) Pour le satellite géostationnaire la valeur de l’altitude sera :
r
3 = (R T +h)
3 =
GM T T
2
4p 2 ⇒ R T +h =
GM T T
2
4p 2
1
3
=
6,67.10
−11 .6.10
24 .(86 164)
2
4.p 2
1
3
R T + h = 4, 222.10
7 m = 42 220 km soit une altitude de 42 220 − 6 400 = 35 820 km
(environ 36 000 km)
III. Vitesse d’évasion d’un satellite.
1) dW =
− →
F (r) d r − → u = F(r) d r = −G
M T m
r 2 d r = − d
−G
M T m
r
= − d(E p )
⇒ E p = −G
MTm
r
+ cte.
Avec E P (∞) = 0 alors E p = −G
M T m
r
Mécanique du point
une grandeur constante au cours du mouvement donc mrv = constante soit v =
constante et le mouvement est uniforme.
c) Le vecteur accélération, dans le cas d’un mouvement circulaire, a pour expression :
− → a = −r ˙
u
2− → u + r ¨
u − → u u ;
En appliquant le principe fondamental de la dynamique on obtient :
− →
F (r) = −G
M T m
r 2
− → u = m − → a = −mr ˙
u
2− → u + mr ¨
u − → u u .
La composante tangentielle de l’accélération (suivant − → u u ) est donc nulle. Cela
implique que l’accélération angulaire ¨
u est nulle et que la vitesse angulaire
˙
u = v est constante. Le mouvement est uniforme.
On a : − → v = r ˙
u − → u u c’est-à-dire v = r ˙
u = rv. Le rayon r et la vitesse angulaire
˙
u = v étant constant, v est constant.
3) d’après la réponse précédente, on a :
− →
F (r) = −G
M T m
r 2
− → u = −mr ˙
u
2− → u = −
mv
2
r
− → u .
On en tire la relation : G
M T m
r 2 =
mv
2
r
⇒ v
2 = G
M T
r
⇒ v =
G
M T
r
=
G
M T
R T + h
4) Le satellite S.P.O.T. évolue à l’altitude h = 832 km. Sa période de révolution T est
donnée par le temps mis pour faire un tour c’est-à-dire : T =
2pr
v
. En élevant au carré
on obtient : T
2 = 4p
2 r
2
v 2 = 4p
2 r
3
GM T
⇒ T = 2p
(R T + h) 3
GM T
T = 2p
(6 400 + 832) 3 10 9
6,67.10 −11 .6.10 24 =6 108,42 s = 101,81 minutes = 1 h 41’ 48”.
Le satellite n’est pas géostationnaire. En effet, un satellite géostationnaire reste fixe
par rapport à la Terre. Il tourne donc avec la même vitesse angulaire que la Terre dans
le référentiel géocentrique et à la même période T o . = 86164 s.
5) On a : T
2 = 4p
2 r
2
v 2 = 4p
2 r
3
GM T
⇒ T
2 =
4p
2
GM T
r
3 . L’expression littérale de la
constante de proportionnalité est donc :
T
2
r 3 =
4p
2
GM T
6) Pour le satellite géostationnaire la valeur de l’altitude sera :
r
3 = (R T +h)
3 =
GM T T
2
4p 2 ⇒ R T +h =
GM T T
2
4p 2
1
3
=
6,67.10
−11 .6.10
24 .(86 164)
2
4.p 2
1
3
R T + h = 4, 222.10
7 m = 42 220 km soit une altitude de 42 220 − 6 400 = 35 820 km
(environ 36 000 km)
III. Vitesse d’évasion d’un satellite.
1) dW =
− →
F (r) d r − → u = F(r) d r = −G
M T m
r 2 d r = − d
−G
M T m
r
= − d(E p )
⇒ E p = −G
MTm
r
+ cte.
Avec E P (∞) = 0 alors E p = −G
M T m
r