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Mécanique du point
3) Déterminer l’expression de la vitesse d’évasion (vitesse de libération) du satellite
pour laquelle l’énergie mécanique E s’annule. Exprimer cette vitesse en fonction de G,
M T , R T et h.
Calculer cette vitesse d’évasion V e pour un corps se situant à la surface de la Terre.
4) L’énergie cinétique moyenne d’agitation des molécules de l’atmosphère terrestre
est de l’ordre de E ca = 3/2 kT, où k est la constante de Boltzmann et T la température absolue de l’atmosphère. Calculer cette énergie cinétique E ca d’agitation pour une
température absolue de 300 K avec k = 1, 38.10
−23 J.K
−1 .
Calculer l’énergie cinétique E ce d’une molécule de dioxygène qui s’évaderait de la surface terrestre (vitesse V e ).
Données : Nombre d’Avogadro : N = 6, 02.10
23 mol
−1 et Masse molaire atomique de
l’oxygène : M(O) = 16, 0 g.mol
−1 .
Comparer ces deux énergies cinétiques E ca et E ce . Que peut-on en déduire ?
IV. Paradoxe !
1) En utilisant l’expression de v obtenue dans la question II.3), exprimer l’énergie
cinétique E c d’un satellite en orbite terrestre en fonction de G, M T , m et r.
2) Exprimer l’énergie mécanique totale E du satellite en fonction de G, M T , m et r.
3) Écrire la relation simple entre E et E c d’une part et celle entre E et E p d’autre part.
Sur un même graphe, donner l’allure des courbes E c , E p , E en fonction de r.
4) Un satellite d’observation évolue sur une orbite circulaire très basse (h = 180 km),
ce qui permet de discerner des détails d’environ un mètre sur la Terre. Par suite des
collisions avec les molécules de l’air des couches supérieures de l’atmosphère, le satellite est soumis à une force de frottement
− →
f de norme f
bmv
2
h
où h représente l’altitude,
m la masse du satellite, v sa vitesse et b une constante valant 10
−8 S.I.
a) Appliquer le théorème de l’énergie mécanique et indiquer comment varie l’énergie
mécanique E du satellite freiné par l’atmosphère ? En utilisant la relation simple entre
E et E c , indiquer comment varie l’énergie cinétique et montrer alors que, paradoxalement, la vitesse du satellite, ainsi freiné, augmente.
b) La vitesse augmentant cela a pour effet de diminuer le rayon de l’orbite circulaire
(voir relation entre v et r du II.3)
Soit Dh = Dr la variation d’altitude (en valeur absolue) du satellite après une révolution. En considérant que cette variation est faible devant la distance r = R T + h,
montrer que la variation d’énergie mécanique peut s’écrire :
DE = −G
mM T
2
Dr
r 2 .
Exprimer le travail W(
− →
f ) de la force de frottement au cours d’une révolution à la
distance r du centre de la Terre.
Appliquer le théorème de l’énergie mécanique et en déduire une valeur approchée de
Dh = Dr après une révolution (on pourra négliger l’altitude h devant le rayon R T de
la Terre).
Mécanique du point
3) Déterminer l’expression de la vitesse d’évasion (vitesse de libération) du satellite
pour laquelle l’énergie mécanique E s’annule. Exprimer cette vitesse en fonction de G,
M T , R T et h.
Calculer cette vitesse d’évasion V e pour un corps se situant à la surface de la Terre.
4) L’énergie cinétique moyenne d’agitation des molécules de l’atmosphère terrestre
est de l’ordre de E ca = 3/2 kT, où k est la constante de Boltzmann et T la température absolue de l’atmosphère. Calculer cette énergie cinétique E ca d’agitation pour une
température absolue de 300 K avec k = 1, 38.10
−23 J.K
−1 .
Calculer l’énergie cinétique E ce d’une molécule de dioxygène qui s’évaderait de la surface terrestre (vitesse V e ).
Données : Nombre d’Avogadro : N = 6, 02.10
23 mol
−1 et Masse molaire atomique de
l’oxygène : M(O) = 16, 0 g.mol
−1 .
Comparer ces deux énergies cinétiques E ca et E ce . Que peut-on en déduire ?
IV. Paradoxe !
1) En utilisant l’expression de v obtenue dans la question II.3), exprimer l’énergie
cinétique E c d’un satellite en orbite terrestre en fonction de G, M T , m et r.
2) Exprimer l’énergie mécanique totale E du satellite en fonction de G, M T , m et r.
3) Écrire la relation simple entre E et E c d’une part et celle entre E et E p d’autre part.
Sur un même graphe, donner l’allure des courbes E c , E p , E en fonction de r.
4) Un satellite d’observation évolue sur une orbite circulaire très basse (h = 180 km),
ce qui permet de discerner des détails d’environ un mètre sur la Terre. Par suite des
collisions avec les molécules de l’air des couches supérieures de l’atmosphère, le satellite est soumis à une force de frottement
− →
f de norme f
bmv
2
h
où h représente l’altitude,
m la masse du satellite, v sa vitesse et b une constante valant 10
−8 S.I.
a) Appliquer le théorème de l’énergie mécanique et indiquer comment varie l’énergie
mécanique E du satellite freiné par l’atmosphère ? En utilisant la relation simple entre
E et E c , indiquer comment varie l’énergie cinétique et montrer alors que, paradoxalement, la vitesse du satellite, ainsi freiné, augmente.
b) La vitesse augmentant cela a pour effet de diminuer le rayon de l’orbite circulaire
(voir relation entre v et r du II.3)
Soit Dh = Dr la variation d’altitude (en valeur absolue) du satellite après une révolution. En considérant que cette variation est faible devant la distance r = R T + h,
montrer que la variation d’énergie mécanique peut s’écrire :
DE = −G
mM T
2
Dr
r 2 .
Exprimer le travail W(
− →
f ) de la force de frottement au cours d’une révolution à la
distance r du centre de la Terre.
Appliquer le théorème de l’énergie mécanique et en déduire une valeur approchée de
Dh = Dr après une révolution (on pourra négliger l’altitude h devant le rayon R T de
la Terre).