Systèmes à deux corps
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c) Comment nomme-t-on la grandeur
− →
M o (
− →
F ). Donner sa valeur dans le cas présent.
d) En déduire que le moment cinétique
− →
L o est constant au cours du temps et que
le mouvement du satellite s’effectue donc dans un plan contenant le centre des
forces O et perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o .
Dans la suite on utilisera la base cylindrique ( − → u , − → u u , − → u z ) avec − → u z vecteur unitaire suivant
la direction et le sens du moment cinétique
− →
L o = L o
− → u z et ( − → u , − → u u ) base polaire dans
le plan du mouvement. Le point S est repéré par ses coordonnées polaires r et u.
II. Étude du mouvement du satellite
Le satellite est sur une orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude h.
1) Définir le référentiel géocentrique. Est-il galiléen pour l’étude du mouvement du
satellite ?
2) Montrer par les 3 différentes méthodes suivantes que le mouvement est uniforme :
a) En exprimant le travail élémentaire dW de la force de gravitation au cours d’un
déplacement élémentaire d
− →
l entre les instant t et t + dt et en appliquant le
théorème de l’énergie cinétique entre ces instants.
b) En utilisant la définition du moment cinétique L o qui est une grandeur
constante au cours du mouvement (voir I.2.d).
c) En exprimant le vecteur accélération − → a en coordonnées polaires et en appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer alors que l’accélération angulaire ¨
u est nulle. Donner l’expression de la vitesse v en coordonnées
polaires et montrer que v est constant.
3) À partir du principe fondamental de la dynamique (voir 2c), déterminer la relation
entre la vitesse angulaire ˙
u et la distance r = R T + h entre le satellite et le centre de la
Terre. En déduire alors la vitesse v du satellite en fonction de G, M T , R T et h.
4) Le satellite S.P.O.T. (Satellite Spécialisé dans l’Observation de la Terre), lancé en
1986, évolue à l’altitude h = 832 km. Déterminer sa période de révolution T. Est-il
géostationnaire ? Justifier.
5) La 3
ème loi de Képler indique que le carré de la période T de révolution d’un satellite est proportionnel au cube du rayon r de son orbite. Quelle est l’expression littérale
de la constante de proportionnalité apparaissant dans cette loi pour un satellite en
orbite terrestre ?
6) En utilisant cette 3
ème loi de Képler, déterminer la valeur de l’altitude d’un satellite
géostationnaire
III. Vitesse d’évasion d’un satellite.
1) Montrer que la force
− →
F (r) exercée par la Terre sur le satellite en orbite circulaire est
une force centrale qui dérive d’une énergie potentielle E p telle que : E P = −G
M T m
r
(avec comme origine de l’énergie potentielle celle pour r infini : E p (∞) = 0).
2) Exprimer l’énergie mécanique totale du satellite (en fonction de v, m, G, M T , R T
et h).
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c) Comment nomme-t-on la grandeur
− →
M o (
− →
F ). Donner sa valeur dans le cas présent.
d) En déduire que le moment cinétique
− →
L o est constant au cours du temps et que
le mouvement du satellite s’effectue donc dans un plan contenant le centre des
forces O et perpendiculaire au moment cinétique
− →
L o .
Dans la suite on utilisera la base cylindrique ( − → u , − → u u , − → u z ) avec − → u z vecteur unitaire suivant
la direction et le sens du moment cinétique
− →
L o = L o
− → u z et ( − → u , − → u u ) base polaire dans
le plan du mouvement. Le point S est repéré par ses coordonnées polaires r et u.
II. Étude du mouvement du satellite
Le satellite est sur une orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude h.
1) Définir le référentiel géocentrique. Est-il galiléen pour l’étude du mouvement du
satellite ?
2) Montrer par les 3 différentes méthodes suivantes que le mouvement est uniforme :
a) En exprimant le travail élémentaire dW de la force de gravitation au cours d’un
déplacement élémentaire d
− →
l entre les instant t et t + dt et en appliquant le
théorème de l’énergie cinétique entre ces instants.
b) En utilisant la définition du moment cinétique L o qui est une grandeur
constante au cours du mouvement (voir I.2.d).
c) En exprimant le vecteur accélération − → a en coordonnées polaires et en appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer alors que l’accélération angulaire ¨
u est nulle. Donner l’expression de la vitesse v en coordonnées
polaires et montrer que v est constant.
3) À partir du principe fondamental de la dynamique (voir 2c), déterminer la relation
entre la vitesse angulaire ˙
u et la distance r = R T + h entre le satellite et le centre de la
Terre. En déduire alors la vitesse v du satellite en fonction de G, M T , R T et h.
4) Le satellite S.P.O.T. (Satellite Spécialisé dans l’Observation de la Terre), lancé en
1986, évolue à l’altitude h = 832 km. Déterminer sa période de révolution T. Est-il
géostationnaire ? Justifier.
5) La 3
ème loi de Képler indique que le carré de la période T de révolution d’un satellite est proportionnel au cube du rayon r de son orbite. Quelle est l’expression littérale
de la constante de proportionnalité apparaissant dans cette loi pour un satellite en
orbite terrestre ?
6) En utilisant cette 3
ème loi de Képler, déterminer la valeur de l’altitude d’un satellite
géostationnaire
III. Vitesse d’évasion d’un satellite.
1) Montrer que la force
− →
F (r) exercée par la Terre sur le satellite en orbite circulaire est
une force centrale qui dérive d’une énergie potentielle E p telle que : E P = −G
M T m
r
(avec comme origine de l’énergie potentielle celle pour r infini : E p (∞) = 0).
2) Exprimer l’énergie mécanique totale du satellite (en fonction de v, m, G, M T , R T
et h).