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Mécanique du point
➤ L’aire élémentaire d A/d t balayée par le rayon vecteur − → r est constante au cours du
temps :
C = r
2 d u
d t
= 2
d A
d t
➤ L’énergie mécanique d’un système à deux corps s’écrit
E =
1
2
m˙ r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 − G
m 1 m 2
r
=
1
2
m˙ r
2 + E Peff
➤ La valeur de l’énergie du système des deux corps définit l’état du système ; on distingue les états suivants :
• l’état lié si E < 0 (les masses sont piégées dans le puits de potentiel) ;
• l’état de diffusion si E > 0 (les deux masses peuvent s’éloigner à l’infini l’une de l’autre) ;
• l’état de libération si E = 0 (c’est la limite entre les deux états précédents).
EXERCICES D’APPLICATION AVEC SOLUTION DÉTAILLÉE
Mouvement d’un satellite artificiel autour de la Terre
• Données numériques :
• Masse de la Terre M T = 6.10
24 kg
• Rayon de la Terre R T = 6 400 km
• Constante de gravitation universelle G = 6, 67.10
−11 N.m
2 .kg
−2
• Période de rotation de la Terre (dans le référentiel géocentrique) T o = 86 164 s
La Terre, de masse M T et de centre O origine du référentiel géocentrique (R) galiléen, a une répartition de masse à symétrie sphérique. Un satellite, assimilé à un point
matériel S de masse m (m M T ), est animée dans (R) d’une vitesse − → v . On note r
la distance à O du point S et on pose :
− →
OS = r − → u . Il subit uniquement la force de
gravitation exercée par la Terre.
I. Force de gravitation et moment cinétique
1) Représenter sur un schéma la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite
et donner l’expression vectorielle de cette force
− →
F (r).
2) Moment cinétique :
a) Donner l’expression du moment cinétique
− →
L o par rapport au point O de la
masse m.
b) Démontrer la relation (théorème du moment cinétique) :
d
− →
L o
dt
=
− →
M o (
− →
F ) =
− →
OS ∧
− →
F .
Mécanique du point
➤ L’aire élémentaire d A/d t balayée par le rayon vecteur − → r est constante au cours du
temps :
C = r
2 d u
d t
= 2
d A
d t
➤ L’énergie mécanique d’un système à deux corps s’écrit
E =
1
2
m˙ r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 − G
m 1 m 2
r
=
1
2
m˙ r
2 + E Peff
➤ La valeur de l’énergie du système des deux corps définit l’état du système ; on distingue les états suivants :
• l’état lié si E < 0 (les masses sont piégées dans le puits de potentiel) ;
• l’état de diffusion si E > 0 (les deux masses peuvent s’éloigner à l’infini l’une de l’autre) ;
• l’état de libération si E = 0 (c’est la limite entre les deux états précédents).
EXERCICES D’APPLICATION AVEC SOLUTION DÉTAILLÉE
Mouvement d’un satellite artificiel autour de la Terre
• Données numériques :
• Masse de la Terre M T = 6.10
24 kg
• Rayon de la Terre R T = 6 400 km
• Constante de gravitation universelle G = 6, 67.10
−11 N.m
2 .kg
−2
• Période de rotation de la Terre (dans le référentiel géocentrique) T o = 86 164 s
La Terre, de masse M T et de centre O origine du référentiel géocentrique (R) galiléen, a une répartition de masse à symétrie sphérique. Un satellite, assimilé à un point
matériel S de masse m (m M T ), est animée dans (R) d’une vitesse − → v . On note r
la distance à O du point S et on pose :
− →
OS = r − → u . Il subit uniquement la force de
gravitation exercée par la Terre.
I. Force de gravitation et moment cinétique
1) Représenter sur un schéma la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite
et donner l’expression vectorielle de cette force
− →
F (r).
2) Moment cinétique :
a) Donner l’expression du moment cinétique
− →
L o par rapport au point O de la
masse m.
b) Démontrer la relation (théorème du moment cinétique) :
d
− →
L o
dt
=
− →
M o (
− →
F ) =
− →
OS ∧
− →
F .