Systèmes à deux corps
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À RETENIR
➤ On appelle centre de masse ou centre d’inertie ou encore centre de gravité ou barycentre d’un
système de deux masses, m 1 et m 2 , le point G dont la position est définie par :
m 1
− − →
GM 1 + m 2
− − →
GM 2 =
− →
0
➤ On appelle référentiel du centre de masse ou référentiel barycentrique un référentiel noté R
∗
centré sur le centre de masse G du système et qui se déplace en translation par rapport
au référentiel R galiléen.
➤ On appelle masse réduite d’un système de deux masses m 1 et m 2 la masse m égale à :
m =
m 1 m 2
m 1 + m 2
ou
1
m
=
1
m 1
+
1
m 2
➤ L’étude, dans le référentiel barycentrique R
∗ , du mouvement de deux corps en interaction gravitationelle distants de r peut se réduire formellement au mouvement d’un
corps unique M fictif de masse m, dans un référentiel galiléen muni d’une origine
O, dont la position est repérée par le vecteur − → r =
−→
OM correspondant au vecteur
−−−→
M 1 M 2 .et subissant la force
− →
F =
− →
F 2 (action de M 1 sur M 2 ). Dans ces conditions, le
vecteur vitesse de la particule fictive − → v =
dr
dt
corespond à la vitesse relative de M 2 par
rapport à M 1 .
➤ Les éléments cinétiques dans le référentiel barycentrique sont :
Quantité de mouvement de M 1
− →
p
∗
1 = −m − → v
Quantité de mouvement de M 2
− →
p
∗
2 = m − → v
Quantité de mouvement totale
− →
p
∗ =
− →
0
Moment cinétique
− →
L
∗ = m − → r ∧ − → v
Énergie cinétique
E
∗
c =
1
2
m 1 v
∗2
1 +
1
2
m 2 v
∗2
2 =
1
2
mv
2
➤ L’équation du mouvement de la masse m, appelée équation maîtresse du mouvement,
est :
m
d
2 − → r
d t 2 = −
− →
F 1 =
− →
F 2
➤ On appelle force centrale une force dont la droite d’action passe par l’origine du rayon vecteur − → r .
➤ Théorème de la force centrale. Dans un mouvement à force centrale, il y a conservation du
moment cinétique et la trajectoire est contenue dans un plan qui est perpendiculaire au vecteur
moment cinétique.
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À RETENIR
➤ On appelle centre de masse ou centre d’inertie ou encore centre de gravité ou barycentre d’un
système de deux masses, m 1 et m 2 , le point G dont la position est définie par :
m 1
− − →
GM 1 + m 2
− − →
GM 2 =
− →
0
➤ On appelle référentiel du centre de masse ou référentiel barycentrique un référentiel noté R
∗
centré sur le centre de masse G du système et qui se déplace en translation par rapport
au référentiel R galiléen.
➤ On appelle masse réduite d’un système de deux masses m 1 et m 2 la masse m égale à :
m =
m 1 m 2
m 1 + m 2
ou
1
m
=
1
m 1
+
1
m 2
➤ L’étude, dans le référentiel barycentrique R
∗ , du mouvement de deux corps en interaction gravitationelle distants de r peut se réduire formellement au mouvement d’un
corps unique M fictif de masse m, dans un référentiel galiléen muni d’une origine
O, dont la position est repérée par le vecteur − → r =
−→
OM correspondant au vecteur
−−−→
M 1 M 2 .et subissant la force
− →
F =
− →
F 2 (action de M 1 sur M 2 ). Dans ces conditions, le
vecteur vitesse de la particule fictive − → v =
dr
dt
corespond à la vitesse relative de M 2 par
rapport à M 1 .
➤ Les éléments cinétiques dans le référentiel barycentrique sont :
Quantité de mouvement de M 1
− →
p
∗
1 = −m − → v
Quantité de mouvement de M 2
− →
p
∗
2 = m − → v
Quantité de mouvement totale
− →
p
∗ =
− →
0
Moment cinétique
− →
L
∗ = m − → r ∧ − → v
Énergie cinétique
E
∗
c =
1
2
m 1 v
∗2
1 +
1
2
m 2 v
∗2
2 =
1
2
mv
2
➤ L’équation du mouvement de la masse m, appelée équation maîtresse du mouvement,
est :
m
d
2 − → r
d t 2 = −
− →
F 1 =
− →
F 2
➤ On appelle force centrale une force dont la droite d’action passe par l’origine du rayon vecteur − → r .
➤ Théorème de la force centrale. Dans un mouvement à force centrale, il y a conservation du
moment cinétique et la trajectoire est contenue dans un plan qui est perpendiculaire au vecteur
moment cinétique.