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Mécanique du point
Nous avons vu en (9.3) que l’énergie cinétique totale du système est E C =
1
2
mv
2 . L’énergie
mécanique E du système des deux masses en interaction est donc :
E = E C + E P =
1
2
mv
2
− G
m 1 m 2
r
La vitesse du point M 2 est égale à − → v = ˙ r − → u r + r ˙
u − → u u (9.5) ce qui conduit à : v
2 = ˙ r
2 + r
2 ˙
u
2 .
Il en résulte que l’énergie mécanique du système s’écrit :
E = E C + E P =
1
2
m(˙ r
2 + r
2 ˙
u
2 ) − G
m 1 m 2
r
Le mouvement est régi par la loi des aires. En utilisant la relation C = r ˙
u
2 on obtient
l’expression suivante :
E = E C + E P =
1
2
m˙ r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 − G
m 1 m 2
r
Le système est mécaniquement isolé, ce qui impose que l’énergie mécanique du système
soit constante. Nous avons donc :
E =
1
2
m˙ r
2 +
1
2
m
C
2
r 2 − G
m 1 m 2
r
=
1
2
m˙ r
2 + E Peff
Nous venons de faire apparaître dans l’expression de l’énergie mécanique une énergie
potentielle dite énergie potentielle effective, qui ne dépend que de r et qui s’écrit :
E Peff =
1
2
m
C
2
r 2 − G
m 1 m 2
r
Cette énergie, dont une partie provient de l’énergie cinétique, possède des propriétés
remarquables quant à l’interprétation du mouvement du système.
4.3. Étude de l’énergie potentielle effective
L’énergie potentielle effective est constituée de la somme de deux termes de signes opposés. Le premier terme, positif, domine aux petits r alors que le second négatif, domine
lorsque r devient grand. La somme de ces deux termes antagonistes est représentée sur la
figure 9.10. On peut voir que l’énergie potentielle effective passe par un minimum qui correspond à l’annulation de la dérivée de l’énergie potentielle effective pour r = r 0 =
mC
2
Gm1m2 .
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
E=
2r
2
mC
2
m 1 m 2
r
E=
E Peff
Energie
r
-G
Figure 9.10 • Diagramme d’énergie pour un système de deux masses en interaction.